Théorème de Beatty

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Le théorème de Beatty est un théorème d'arithmétique publié en 1926 par le mathématicien canadien Samuel Beatty (mais déjà mentionné par Lord Rayleigh en 1894) qui donne une condition nécessaire et suffisante sur deux réels pour que les deux suites « de Beatty » associées partitionnent *.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Il affirme l'équivalence des deux points suivants, pour deux nombre réels p et q strictement positifs :

  • Les nombres p et q sont irrationnels et vérifient \frac1p+\frac1q=1.
  • Les deux suites d'entiers P=(\mathrm E(np))_{n\in\N^*} et Q=(\mathrm E(nq))_{n\in\N^*} forment une partition de l'ensemble ℕ*.

Ici, la fonction E désigne la fonction partie entière.

Ce résultat ne se généralise pas : il est impossible de partitionner ℕ* avec plus de trois suites de cette forme (dites « suites de Beatty »).

Exemple[modifier | modifier le code]

L'un des premiers exemples connus a été découvert dès 1907 par le mathématicien hollandais Wythoff, indépendamment du théorème de Beatty. Pour \phi le nombre d'or, nous avons :

\frac{1}{\phi} + \frac{1}{\phi^2} = 1 \,.

Les deux suites obtenues sont alors :

  • {\rm E}(n\phi), n > 0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... suite A000201 de l'OEIS
  • {\rm E}(n\phi^2), n > 0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... suite A001950 de l'OEIS

Les couples ({\rm E}(n\phi), {\rm E}(n\phi^2)) apparaissent dans la résolution du jeu de Wythoff, et caractérisent les positions à partir desquelles le joueur qui a le trait ne peut pas gagner.

Référence[modifier | modifier le code]

Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1, Cassini

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Pages contenant des applets pour calculer les termes de la suite de Beatty, ou pour déterminer p et q en fonction des termes de la suite