Théorème d'inversion de Lagrange

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En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement ; la formule d'inversion de Lagrange, connue aussi sous le nom de formule de Lagrange-Bürmann, en est un cas particulier donnant le développement en série de Taylor de la bijection réciproque d'une fonction analytique.

Formule générale[modifier | modifier le code]

Si z est une fonction de x, de y et d'une fonction f indéfiniment dérivable, telle que

z=x+yf(z)

alors pour toute fonction g indéfiniment dérivable, on a

g(z)=g(x)+\sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}\left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(f(x)^kg'(x)\right)

pour y petit, si la série converge (voir plus loin pour la version formelle de cette identité).

Si g est la fonction identité on obtient alors

z=x+\sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}\left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(f(x)^k\right)

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Cas de la bijection réciproque[modifier | modifier le code]

Si on prend x = 0 et f(z) = \frac{z}{h(z)}h est une fonction analytique telle que h(0) = 0 et h'(0) \neq 0, on obtient la relation y = h(z) et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction h^{-1}, à savoir :

z = h^{-1}(y) = \sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}\left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(\frac{x}{h(x)} \right)^k

les dérivées étant calculées en x = 0.

Plus précisément :

Soit f une fonction (de variable complexe) analytique au point a telle que f '(a) ≠ 0. On peut alors résoudre l'équation en w f(w)=z pour z appartenant à un voisinage de f(a), obtenant w = g(z)\,, où g est analytique au point b = f(a). On dit que g est obtenu par inversion de série.

Le développement en série de g est donné par[1]


  g(z) = a
  + \sum_{n=1}^{\infty}
\left(
\lim_{w \to a}\left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}w^{\,n-1}}
\left( \frac{w-a}{f(w) - b} \right)^n\right)
{\frac{(z - b)^n}{n!}}
\right).

Cette formule est en fait valable pour des séries formelles, et peut se généraliser de diverses façons : pour des fonctions de plusieurs variables, pour le cas où f '(a) = 0 (l'inverse g étant alors une fonction multivaluée), et pour des extensions à des algèbres d'opérateurs, comme pour l'exponentielle ou le logarithme de matrices.

Ce théorème fut démontré par Lagrange[2] et généralisé par Hans Heinrich Bürmann (en)[3],[4],[5] à la fin du dix-huitième siècle. On peut l'obtenir à l'aide de la théorie (plus tardive) de l'intégrale de contour, mais c'est en réalité un résultat purement formel, dont on peut donner une preuve directe[6].

Formule de Lagrange-Bürmann[modifier | modifier le code]

Un cas particulier du théorème, utilisé en combinatoire analytique, correspond à f(w)=w/\phi(w) et \phi(0)\ne 0.Prenant a=0 et b=f(0)=0, on obtient


  g(z) =
  \sum_{n=1}^{\infty}
   \left( \lim_{w \to 0}
    \left(  \frac {\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}w^{n-1}}
    \left( \frac{w}{w/\phi(w)} \right)^n
   \right)
  \frac{z^n}{n!}
 \right)
=
  \sum_{n=1}^{\infty}
  \frac{1}{n}
   \left(
   \frac{1}{(n-1)!}
   \lim_{w \to 0} \left(
   \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}w^{n-1}}
   \phi(w)^n
  \right)
 \right)
 z^n,

ce qui peut aussi s'écrire

[z^n] g(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] \phi(w)^n,

[w^r] désigne le coefficient de w^r dans l'expression qui le suit.

Une généralisation utile de cette formule est connue comme la formule de Lagrange–Bürmann :

[z^{n+1}] H (g(z)) = \frac{1}{(n+1)} [w^n] (H' (w) \phi(w)^{n+1}),

H peut être une fonction analytique arbitraire, par exemple H(w) = wk.

Applications[modifier | modifier le code]

Fonction W de Lambert[modifier | modifier le code]

La fonction W de Lambert est la fonction W(z) définie par l'équation implicite

 W(z) e^{W(z)} = z.\,

Le théorème de Lagrange permet calculer la série de Taylor de W(z) près de z=0. Prenant f(w) = w \mathrm{e}^w et a = b = 0, on remarque que


\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\ \mathrm{e}^{\alpha\,x}\,=\,\alpha^n\,\mathrm{e}^{\alpha\,x}

ce qui donne


  W(z) =
  \sum_{n=1}^{\infty}
  \lim_{w \to 0} \left(
   \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}w^{\,n-1}}\ \mathrm{e}^{-nw}
  \right)
  { \frac{z^n}{n!}}\,=\, \sum_{n=1}^{\infty}
  (-n)^{n-1}\, \frac{z^n}{n!}= x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.

Le rayon de convergence de cette série est e^{-1} (ce qui correspond à la branche principale de la fonction de Lambert).

On peut obtenir une série ayant un plus grand rayon de convergence par la même méthode : la fonction f(z) = W(e^z) - 1\, vérifie l'équation

1 + f(z) + \ln (1 + f(z)) = z.\,

Développant z + \ln (1 + z)\, en série et inversant celle-ci, on obtient pour f(z+1) = W(e^{z+1})-1\, :

W(e^{1+z}) = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{16}
- \frac{z^3}{192}
- \frac{z^4}{3072}
+ \frac{13 z^5}{61440}
- \frac{47 z^6}{1474560}
- \frac{73 z^7}{41287680}
+ \frac{2447 z^8}{1321205760} + O(x^9).

W(x)\, peut s'en déduire en substituant \ln x - 1\, à z dans cette série. Par exemple, prenant z = -1, on trouve W(1) = 0.567143\, à 10-6 près.

Combinatoire analytique[modifier | modifier le code]

Article connexe : série génératrice.

Soit B_n le nombre d'arbres binaires (non étiquetés) ayant n nœuds.

Retirer la racine d'un arbre le décompose en deux arbres plus petits ; on en déduit que la fonction génératrice B(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n z^nvérifie l'équation fonctionnelle :

B(z) = 1 + z B(z)^2.

Posant C(z) = B(z) - 1, cette équation se réécrit :

z = \frac{C(z)}{(C(z)+1)^2}.

On peut donc appliquer le théorème avec \phi(w) = (w+1)^2 :

 B_n = [z^n] C(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (w+1)^{2n}
= \frac{1}{n} {2n \choose n-1} =  \frac{1}{n+1} {2n \choose n}.

On en déduit que B_n est le n-ème nombre de Catalan.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lagrange inversion theorem » (voir la liste des auteurs)

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 3.6.6. : « Lagrange's Expansion », p. 14
  2. Joseph-Louis Lagrange, « Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 24,‎ 1770, p. 251–326 (lire en ligne) (soumis en 1768)
  3. Hans Heinrich Bürmann, « Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum », Institut National de France,‎ soumis en 1796. Pour un résumé de cet article, cf. (de) Bürmann, « Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges », dans C. F. Hindenburg (en), Archiv der reinen und angewandten Mathematik, vol. 2, Leipzig, Schäferischen Buchhandlung,‎ 1798 (lire en ligne), p. 495-499
  4. Hans Heinrich Bürmann, Formules du développement, de retour et d'intégration, soumis à l'Institut National de France. Le manuscrit de Bürmann est conservé dans les archives de l'ENPC à Paris
  5. Lagrange et Legendre, « Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann », Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2,‎ 1799, p. 13-17 (lire en ligne)
  6. Voir l'article anglais sur les séries formelles

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule de Faà di Bruno

Liens externes[modifier | modifier le code]