Théorème d'approximation de Dirichlet

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Le théorème d'approximation de Dirichlet est l'énoncé suivant[1] :

Étant donnés N nombres réels a1, a2, … , aN, un entier q > 0 et un nombre t0 > 0,

il existe un nombre t dans l'intervalle t0tt0qN et des entiers x1, x2, … , xN satisfaisant aux N inégalités

|t a_n-x_n|<1/q\quad(n=1,2, \ldots, N).

Ce théorème se démontre par le principe de Dirichlet, dit aussi principe des tiroirs (le nombre t ainsi construit est même multiple de t0 par un entier).

Utilisations[modifier | modifier le code]

Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.

Par exemple, un corollaire élémentaire est que pour tout irrationnel α, il existe une infinité de rationnels pouvant s'écrire h/k avec k ≠ 0 et h entiers tels que |α – h/k| < 1/k2 (alors que pour un rationnel α, il n'existe évidemment qu'un nombre fini de telles fractions h/k).

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press,‎ 1951 (lire en ligne), chap. VIII

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Dirichlet theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)