Théorème d'Euler (triangle)

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Le théorème d'Euler est un théorème de géométrie attribué à Leonhard Euler.

Théorème[modifier | modifier le code]

Pour un triangle quelconque,

  • la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit étant notée d,
  • les rayons des cercles inscrit et circonscrit étant notés respectivement r et R, on a
     d^2=R (R-2r) \,.

Il résulte en particulier de ce théorème que l'inégalité suivante est également toujours satisfaite :

R \ge 2r.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Théorème d'Euler.jpg

La démonstration utilise les propriétés de l'angle inscrit et de la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Soit ABC le triangle, Ω le centre du cercle circonscrit, et I celui du centre du cercle inscrit.

La droite (AI) coupe le cercle circonscrit en L. Soit M le point diamétralement opposé à L sur ce cercle.

Soit D le pied de la perpendiculaire menée de I sur (AB). C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a ID = r

Les angles LAB et LMB sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles (IAD) et (LMB) sont donc semblables puisqu'ils ont deux angles égaux.

On en déduit : ID/LB = AI/LM, d'où ML × ID = AI × LB, et par conséquent : 2 R r = AI × LB.

D'autre part l'angle LIB est le supplémentaire de l'angle AIB, c'est donc la somme des angles IAB et IBA, soit la demi-somme des angles CAB et CBA et l'angle IBL est la somme des angles IBC et CBL, soit la somme des angles IBC et CAL (par propriété de l'angle inscrit), soit aussi la demi-somme des angles CAB et CBA.

Le triangle BIL est donc isocèle, et par conséquent BL = LI, et : 2 R r = AI × LI.

Or, selon la propriété de la puissance d'un point par rapport à un cercle, puisque que I est intérieur au cercle, IA × IL = R2 - d2 . Par conséquent : R2 - d2 = 2 R r.

Finalement, d2 = R2 - 2 R r = R(R - 2r), ce qu'il fallait démontrer.