Théorème d'Euler (courbure des surfaces)

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Directions principales en un point d'une surface. Les sections de la surface selon les plans principaux ayant sur le cas particulier des courbures de signes contraires, le point de la surface est un point hyperbolique.
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En géométrie différentielle, le théorème d'Euler relatif aux rayons de courbure des courbes tracées sur une surface, fournit la valeur des courbures des courbes de cette surface passant par un même point, sous la forme :

\kappa_X = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta~.

Il faut comprendre dans cette formule, qui s'applique aux points où la surface est deux fois différentiable, que la courbure des courbes qu'on peut tracer sur elle présente deux directions particulières (obtenues dans la notation ci-dessus respectivement pour \theta =0 et \theta =\pi/2). Ces directions sont appelées directions principales de courbure. Elles sont orthogonales entre elles (voir figure).

Les courbures k_1 et k_2 des courbes dont la tangente est située selon ces directions, sont appelées courbures principales[1] de la surface au point considéré[2].

Autrement dit, si on suppose faire tourner un plan normal autour du vecteur normal à la surface au point considéré, la courbure des courbes dont la section est ainsi définie passe par un maximum et un minimum. Les plans correspondant à ce maximum et à ce minimum sont orthogonaux. La connaissance des courbures des sections correspondantes permet de calculer très facilement la courbure d'une section quelconque, grâce au théorème d'Euler.

  • Lorsque les deux courbures principales sont de même signe, le point de la surface est dit "elliptique".
  • Lorsqu'elles sont de signes contraires, le point est dit "hyperbolique"
  • Lorsque l'une des courbures est nulle, le point est dit "parabolique"
  • Lorsqu'elles sont toutes deux nulles, le point est dit "méplat"
  • Lorsque les deux courbures sont égales et de même signe, le point considéré est appelé "ombilic". Toutes les directions sont alors principales.

Ce théorème et la propriété spécifique des surfaces qu'il décrit, a été démontré par Euler en 1760.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. La demie somme (k_1+k_2)/2 des courbures principales est appelée courbure moyenne. Le produit k_1k_2 des courbures principales est appelée courbure de Gauss.
  2. "évidemment", les directions principales varient en général avec le point de la surface. Lorsque la surface est suffisamment régulière, ces directions principales sont les enveloppes de deux séries de courbes qu'on appelle lignes de courbure de la surface. Ces deux séries de lignes sont orthogonales entre elles en tous les points réguliers, à l'exception des ombilics (points de Darboux).

(en) Euler - Recherches sur la courbure des surfaces - Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (1767)

Articles connexes[modifier | modifier le code]