Théorème d'Euler (arithmétique)

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En mathématiques, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire a été publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1].

Théorème d'Euler — Soit n un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.

φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.

Ce théorème permet simplement la réduction modulo n de puissance. Par exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. Le théorème d'Euler nous indique donc que 7^4 \equiv 1 \pmod{10}. On en déduit que 7^{222} \equiv 7^{4\times 55 + 2} \equiv  (7^4)^{55}\times 7^2 \equiv 1^{55}\times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}. Le chiffre recherché est donc 9.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Présenté à l'Académie de Berlin le 13 février 1755, puis publié par l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg sous le titre « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », dans Novi Comment. acad. sc. Petrop., vol. 7, 1761, p. 49-82. L'original en latin est disponible en ligne sur le site du Dartmouth College sous le numéro E262. Traduction en anglais : Texte en accès libre sur arXiv : math/0608467.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Ordre multiplicatif