Théorème d'Erdős-Kac

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Le théorème d'Erdős-Kac en théorie des nombres est un exemple d'étude de la convergence faible de fréquences des fonctions additives, et est considéré comme fondamental en théorie probabiliste des nombres (en). Il est relatif à la fonction ω(n) qui désigne le nombre de facteurs premiers de n distincts (comptés sans leurs multiplicités). Il a été obtenu par Paul Erdős et Mark Kac en 1939[1] . En 1958, Alfréd Rényi et Pál Turán ont donné une version explicite du terme d'erreur.

L'énoncé est le suivant[2]. Pour tout réel λ, on a :

\lim_{x\to+\infty}\frac1x\left|\left\{n\leq x~|~\omega(n)\le\ln\ln x+\lambda\sqrt{\ln\ln x}\right\}\right|=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{- \infty}^\lambda e^{-t^2/2}~\mathrm dt.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Paul Erdős et Mark Kac, « The Gaussian law of errors in the theory of additive functions », Proc. N. A. S., vol. 25,‎ 1939, p. 206-207 (lire en ligne)
  2. (en) Paul Erdős et Mark Kac, « On the Gaussian law of errors in the theory of additive number theoretic functions », Amer. J. Math., vol. 62,‎ 1940, p. 738–742 (lire en ligne) (MR2, 42c ; Zentralblatt 24, 102).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Hardy-Ramanujan (en)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Erdős–Kac Theorem », MathWorld