Théorème d'Egoroff

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Le théorème d’Egoroff, nommé ainsi en hommage à Dmitri Egorov, un physicien et géomètre russe, établit une condition de convergence uniforme dans certains espaces mesurables. Ce théorème peut servir en particulier à montrer le théorème de Lusin pour les fonctions intégrables. Il s’agit en fait d’un résultat basique de théorie de l’intégration. Il permet en outre de donner une démonstration concise du théorème de convergence dominée.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (E, Σ, μ) un espace mesuré vérifiant μ(E) < +∞ (la mesure μ est dite finie). Soit (fn) une suite de fonctions mesurables sur E à valeurs réelles convergeant simplement μ-presque partout vers une fonction f mesurable sur E.

Alors, pour tout ε > 0, il existe A ∈ Σ tel que μ(A) < ε et tel que fn converge uniformément vers f sur E\A (le complémentaire de A dans E).

Pourquoi supposer la mesure finie ?[modifier | modifier le code]

Considérons la suite de fonctions (fn) suivante définie sur l’ensemble des réels munie de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue (χ désigne la fonction indicatrice d’un ensemble) : fn =χ[n, n + 1]. Alors, (fn) converge simplement sur l’ensemble des réels vers la fonction nulle, mais il n’existe aucun sous-ensemble de la forme ℝ\B avec B de mesure finie où la convergence est uniforme.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On considère pour n, k ≥ 1 les ensembles :

 E_{k,n}=\bigcap_{i\ge n}\left\{x \in E\mid|f_i(x)-f(x)|\le1/k\right\}.

Pour tout k ≥ 1, la suite (Ek,n) est croissante (pour l’inclusion), donc :

\mu\left(\cup_{n\ge1}E_{k,n}\right)=\lim_{n\to\infty}\mu(E_{k,n}).

De plus, comme la suite de fonctions (fn) converge simplement μ-p.p. vers f, on a, pour tout k ≥ 1 :

\mu\left(\cup_{n\ge1}E_{k,n}\right)=\mu(E).

On fixe alors ε > 0. Grâce à la condition μ(E) < +∞, on peut trouver pour chaque k ≥ 1 un entier nk positif tel que

 \mu(E_{k,n_k}) \ge \mu(E)-2^{-k} \varepsilon.

Alors, l’ensemble

 A=\bigcup_{k \ge 1}(E\setminus E_{k,n_k})

convient.

Autre formulation du théorème[modifier | modifier le code]

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Soit E un espace métrique, séparable et localement compact, sur lequel on a une mesure μ σ-finie. Soit (fn) une suite de fonctions mesurables de E dans ℝ convergeant μ-p.p. vers une fonction f mesurable.

Alors, pour tout ε > 0 et pour tout compact K de E, il existe un compact K' inclus dans K tel que μ(K\K') < ε et tel que fn converge uniformément vers f sur K'.

Source[modifier | modifier le code]

(en) Michael E. Taylor (de), Measure theory and integration, AMS, p. 34-39