Théorème d'Apéry

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Le théorème d'Apéry, dû, en 1977, au mathématicien Roger Apéry, affirme que le nombre

\zeta (3)=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots,

où ζ est la fonction zêta de Riemann, est irrationnel. Ce nombre est également appelé constante d'Apéry.

Historique[modifier | modifier le code]

Euler a démontré[1] que si n est un entier positif, alors

\frac{1}{1^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\ldots = \frac{p}{q}\pi^{2n}

pour un certain rationnel p/q. Plus précisément, notant la série de gauche ζ(2n) (voir l'article fonction zêta), il a montré que

\zeta(2n) = |B_{2n}|\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

où les Bn sont les nombres de Bernoulli (dont il est facile de montrer qu'ils sont rationnels). Une fois démontré que πn est toujours irrationnel[2], on en déduit que ζ(2n) est irrationnel (et même en fait transcendant) pour tout entier positif n.

On ne connait pas de telle expression utilisant π pour les valeurs de ζ(m) lorsque m est un entier positif impair ; il est d'ailleurs conjecturé que les quotients \frac{\zeta(2n+1)}{\pi^{2n+1}} sont transcendants pour tout entier n ≥ 1[3]. C'est pourquoi il n'avait pas pu être montré que les ζ(2n+1) étaient irrationnels, bien que l'on ait conjecturé qu'ils étaient eux aussi tous transcendants (une conjecture qui englobe les deux précédentes est que les nombres π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), … sont algébriquement indépendants sur ℚ).

Cependant, en juin 1978, Roger Apéry donna une conférence intitulée « Sur l'irrationalité de ζ(3) ». Il esquissa alors des démonstrations de l'irrationalité de ζ(3), et aussi de ζ(2), par des méthodes n'utilisant pas la valeur \pi^2/6 de cette dernière constante.

À cause de l'allure inattendue de ce résultat, et du style blasé et approximatif de la présentation d'Apéry, beaucoup de mathématiciens assistant à cette conférence pensèrent que la démonstration était erronée. Pourtant, trois des spectateurs estimèrent qu'elle pouvait être rendue rigoureuse.

Deux mois plus tard, ceux-ci : Henri Cohen, Hendrik Lenstra, et Alfred van der Poorten (en) y parvinrent, et, le 18 août, Henri Cohen donna un exposé détaillé de la démonstration d'Apéry ; immédiatement après cet exposé, Apéry lui-même monta sur l'estrade expliquer les motivations heuristiques de sa démarche[4],[5].

La démonstration d'Apéry[modifier | modifier le code]

La démonstration d'Apéry[4],[6] s'appuie sur le critère suivant d'irrationalité : s'il existe un δ > 0 et une infinité de couples d'entiers q > 0 et p tels que

0<\left|\xi-\frac pq\right|<\frac1{q^{1+\delta}},

alors ξ est irrationnel.

Apéry part de la représentation de ζ(3) par la série

\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}.

Il définit alors une suite cn,k convergeant vers ζ(3) à la même vitesse que cette série par

c_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^{3}}+\sum_{m=1}^{k}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}},

puis deux autres suites an et bn ayant (à peu près) pour quotient cn,k par

a_{n}=\sum_{k=0}^{n}c_{n,k}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}

et

b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}.

La suite an/bn converge vers ζ(3) assez rapidement pour pouvoir appliquer le critère de Dirichlet, mais an n'est pas un entier si n>2. Cependant, Apéry a montré que même après avoir multiplié an et bn par des entiers convenables, la convergence reste assez rapide pour garantir l'irrationalité de ζ(3).

Autres preuves[modifier | modifier le code]

L'année suivante, une autre démonstration fut trouvée par Frits Beukers[7], remplaçant les séries d'Apéry par des intégrales mettant en jeu les polynômes de Legendre (translatés) \tilde{P_{n}}(x)={P_{n}}(2x-1). Utilisant une représentation qui serait par la suite généralisée pour obtenir la formule de Hadjicostas (en), Beukers montra que

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-\ln(xy)}{1-xy}\tilde{P_{n}}(x)\tilde{P_{n}}(y)dxdy=\frac{A_{n}+B_{n}\zeta(3)}{\operatorname{ppcm}\left[1,\ldots,n\right]^{3}}

pour certains entiers An et Bn (les suites A171484 et A171485 de l'OEIS). Intégrant par parties, en supposant que ζ(3) est le rationnel a/b, Beukers obtient l'inégalité

0<\frac{1}{b}\leq\left|A_{n}+B_{n}\zeta(3)\right|\leq 4\left(\frac{4}{5}\right)^{n},

ce qui est absurde puisque le membre de droite tend vers zéro et donc finit par être plus petit que 1/b.

Des démonstrations plus récentes de Wadim Zudilin (en)[8] et de Yuri Nesterenko (en)[9] se rapprochent davantage des idées d'Apéry, construisant des suites qui tendent vers zéro, alors qu'elles sont minorées par 1/b si ζ(3) est le rationnel a/b. Ces démonstrations assez techniques font un usage important des séries hypergéométriques.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Les preuves d'Apéry et Beukers peuvent être adaptées (et simplifiées) pour démontrer de même l'irrationalité de ζ(2) grâce à l'existence de la série

\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}.

Le succès de cette méthode a conduit à s'intéresser au nombre ξ5 tel que

\zeta(5)=\xi_{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{5}\binom{2n}{n}}.

Si ce nombre était rationnel, ou même simplement algébrique, on pourrait en déduire une preuve de ce que ζ(5) est irrationnel. Malheureusement, des recherches étendues (par ordinateur)[10] ont échoué ; on sait par exemple que si ξ5 est un nombre algébrique de degré au plus 25, les coefficients de son polynôme minimal doivent être supérieurs à 10383 ; il ne semble donc pas possible d'étendre les résultats d'Apéry à d'autres valeurs de ζ(2n+1).

Cependant, beaucoup de mathématiciens travaillant dans ce domaine s'attendent à des avancées importantes dans un avenir proche[11]. De fait, des résultats récents de Wadim Zudilin (en) et Tanguy Rivoal montrent qu'une infinité de nombres de la forme ζ(2n+1) sont irrationnels[12], et même qu'au moins un des nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9), et ζ(11) l'est[13]. Ils utilisent des formes linéaires des valeurs de la fonction zêta, et des estimations de ces formes pour borner la dimension d'un espace vectoriel engendré par ces valeurs. Les espoirs de réduire la liste de Zudilin à un seul nombre ne se sont pas concrétisés, mais cette approche constitue toujours une ligne de recherche active (il a été suggéré que cette question pourrait avoir des applications pratiques : ces constantes interviennent en physique pour décrire des fonctions de corrélation du modèle de Heisenberg[14]).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir Problème de Bâle
  2. C'est une conséquence du théorème de Lindemann
  3. (en) Winfried Kohnen, « Transcendence conjectures about periods of modular forms and rational structures on spaces of modular forms », Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., vol. 99, no 3,‎ 1989, p. 231–233 (lien DOI?)
  4. a et b R. Apéry, « Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). » Astérisque 61 (1979), 11-13.
  5. Alfred van der Poorten (en), « A proof that Euler missed - Apéry's proof [...] - An informal report », The Mathematical Intelligencer, vol. 1, no 4,‎ 1979, p. 195–203 (lire en ligne)
  6. R. Apéry, « Interpolation de fractions continues et irrationalité de certaines constantes », Bulletin de la section des sciences du C.T.H.S III,‎ 1981, p. 37–53
  7. (en) F. Beukers, « A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3) », Bull. London Math. Soc., vol. 11, no 3,‎ 1979, p. 268–272 (lien DOI?)
  8. (en) W. Zudilin (2002), An Elementary Proof of Apéry's Theorem.
  9. (ru) Ю. В. Нестеренко, « Некоторые замечания о ζ(3) », Матем. Заметки, vol. 59, no 6,‎ 1996, p. 865–880 (lire en ligne) English translation: (en) Yu. V. Nesterenko, « A Few Remarks on ζ(3) », Math. Notes, vol. 59, no 6,‎ 1996, p. 625–636 (lien DOI?)
  10. (en) D. H. Bailey, J. Borwein, N. Calkin, R. Girgensohn, R. Luke, et V. Moll, Experimental Mathematics in Action, 2007 ; voir aussi l'article Mathématiques expérimentales.
  11. (en) Jorn Steuding, Diophantine Analysis (Discrete Mathematics and Its Applications), Boca Raton, Chapman & Hall/CRC,‎ 2005
  12. T. Rivoal, « La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique, vol. 331,‎ 2000, p. 267–270 (lien DOI?, lire en ligne)
  13. (en) W. Zudilin, « One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational », Russ. Math. Surv., vol. 56, no 4,‎ 2001, p. 774–776
  14. Voir par exemple(en) H. E. Boos, V. E. Korepin, Y. Nishiyama, M. Shiroishi, « Quantum Correlations and Number Theory », Journal of Physics A, vol. 35,‎ 2002, :4443–4452

Lien externe[modifier | modifier le code]

Stéphane Fischler, « Irrationalité de valeurs de zêta », Séminaire Bourbaki, t. 45,‎ 2002-2003, p. 27-62 (lire en ligne)


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Apéry's theorem » (voir la liste des auteurs)