Théorème de Engel

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Le théorème de Engel porte sur la structure des algèbres de Lie. Sommairement, il affirme que les deux notions de nilpotence que l'on peut définir pour une algèbre de Lie coïncident.

Rappelons qu'une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ est dite nilpotente si la suite définie par récurrence par $C_i$ par $C_0=\mathfrak{g}$ et $C_{i+1}=[C_i,\mathfrak{g}]$ finit par arriver à 0, autrement dit s'il existe un i tel que $C_i=\{0\}$.

Rappelons également qu'un endomorphisme A d'un espace vectoriel V est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que $A^n=0$.

Si $x\in\mathfrak g$, on note ad(x) l'endomorphisme de $\mathfrak g$ défini par ad(x)(y)=[x,y]. On dit que x est ad-nilpotent si ad(x) est nilpotent. Il découle facilement de la définition que si $\mathfrak g$ est une algèbre de Lie nilpotente, alors tout élément x de $\mathfrak g$ est ad-nilpotent.

Le théorème de Engel s'énonce alors comme suit :

Théorème — Si tous les éléments d'une algèbre de Lie $\mathfrak g$ sont ad-nilpotents, alors $\mathfrak g$ est nilpotente.

Ce théorème découle en fait du résultat suivant, que certains auteurs appellent également théorème de Engel :

Théorème — Soit $\mathfrak g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak {gl}(V)$. On suppose que tous les éléments de $\mathfrak g$ sont nilpotents. Alors il existe une base de V dans laquelle tous les éléments de $\mathfrak g$ sont des matrices triangulaires supérieures (strictes).

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