Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Théorème — Soit $\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence égal à $R$ . Si $\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n$ converge, alors :

$\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n$ .

Démonstration

Quitte à effectuer un changement de variables linéaire $u = x / R$ , on peut considérer uniquement le cas $R = 1$ .

La démonstration repose sur la méthode classique de la transformation d'Abel, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales. Notons $S n$ les sommes partielles de la série $\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n$ (avec la convention $S - 1 = 0$ ) et $l$ sa somme, alors :

$\sum_{n=0}^{N}(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N}S_n(x^n-x^{n+1}) + S_Nx^{N+1}$

Pour tout $x < 1$ , on a donc prouvé que $\textstyle f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n$ . Prenons $N 0$ tel que $| S n - l | < ε$ pour tout $n\geqslant N_0$ , alors pour $0 < x < 1$ :

$(1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l-\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n \leqslant f(x) \leqslant (1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l+\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n$

Comme d'une part la suite $S n$ est bornée car convergente, et d'autre part $\textstyle\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n = \frac{x^{N_0+1}}{1-x}$ , on obtient :

$-M (1-x^{N_0+1}) + (l-\varepsilon)x^{N_0+1} \leqslant f(x) \leqslant M (1-x^{N_0+1}) + (l+\varepsilon)x^{N_0+1}$

Les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers $l - ε$ et $l + ε$ quand $x$ tend vers 1.

Remarque : dans le cas où la série $\sum_{n \geqslant 0} a_n R^n$ est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, $\sum_{n \geqslant 0} a_n x^n$ converge normalement donc uniformément sur [0, R] ; on retrouve immédiatement :

$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{x \to R^-}(a_n x^n) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n$

Exemple (1) :

Soit $\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)$ . Comme $\textstyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on en déduit que : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

Exemple (2) :

Soit $\textstyle g(x)= \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)$ . Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\textstyle\sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ converge, d'où : $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$