Théorème 90 de Hilbert

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En théorie de Galois, le théorème 90 de Hilbert est une propriété algébrique d'énoncé simple, et de grande portée, de par son interprétation homologique.

Ce théorème tire son nom de l'ouvrage paru en 1897, Zahlbericht (en), par David Hilbert, dans lequel il est énoncé, et démontré, comme théorème 90. Il a été ensuite généralisé par Emmy Noether.

Considérant une extension cyclique de corps de nombres L/K, et g un générateur de son groupe de Galois G, ce théorème établit que tout élément a de L est de norme 1 si, et seulement si il est de la forme :

a=\frac b{g(b)}

pour un certain élément b du corps L[1]. Cette propriété traduit en fait très exactement l'annulation du premier groupe de cohomologie galoisienne H1(G, L×)[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Lang, §VI.6
  2. Lang, §VI.10


Références[modifier | modifier le code]