Test de Jarque Bera

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Le test de Jarque-Bera est un test d'hypothèse qui cherche à déterminer si des données suivent une loi normale.

Présentation[modifier | modifier le code]

Comme chaque test d'hypothèse, il faut poser une hypothèse nulle à valider :

  •  H_0: les données suivent une loi normale.
  •  H_1: les données ne suivent pas une loi normale.

La variable de Jarque-Bera s'écrit


\mathit{JB} = \frac{n-k}{6} \left( S^2 + \frac{(K-3)^2}{4} \right)

avec:

  • n = Nombre d'observations
  • k = Nombre de variables explicatives si les données proviennent des résidus d'une régression linéaire. Sinon, k=0.
  • S = Coefficient d'asymétrie de l'échantillon testé.
  • K = Kurtosis de l'échantillon testé.

Mathématiquement, S et K sont définis par:

\begin{align}
    & S = \frac{ \hat{\mu}_3 }{ \hat{\sigma}^3 } 
        = \frac{\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^3} {\left(\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \right)^{3/2}} \\
    & K = \frac{ \hat{\mu}_4 }{ \hat{\sigma}^4 }  
        = \frac{\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^4} {\left(\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \right)^2} ,
  \end{align}

avec \hat{\mu}_3 et \hat{\mu}_4 les estimateurs du troisième et quatrième moments , \bar{x} est la moyenne de l'échantillon et \hat{\sigma}^2 est la variance de l'échantillon.

La statistique JB suit asymptotiquement une loi du χ² à 2 degrés de liberté.

Ce test est fréquemment utilisé pour déterminer si les résidus d'une régression linéaire suivent une distribution normale. Certains auteurs[1] proposent de corriger par le nombre k de régresseurs, tandis que d'autres [2] ne le mentionnent pas.

Une loi normale a un coefficient d'asymétrie = 0 et une kurtosis = 3. On saisit alors que si les données suivent une loi normale, le test s'approche alors de 0 et on accepte (ne rejette pas) Ho au seuil \alpha.

Approche plus formelle[modifier | modifier le code]

Le test de Jarque-Bera ne teste pas à proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si le kurtosis et le coefficient d'asymétrie des données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de même espérance et variance.

On a donc:

 H_{0}: S=0 \mbox{ et } K=3 \,

 H_{1}: S\ne 0 \mbox{ ou } K\ne 3 \,

Il s'agit d'un test du type multiplicateur de Lagrange.

Références[modifier | modifier le code]

Jarque, Carlos M. & Anil K. Bera (1980). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. Economics Letters 6 (3): 255–259.

Bera, Anil K., Carlos M. Jarque (1981). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. Economics Letters 7 (4): 313–318

Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1987), A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, 163–172.

Logiciels pour le calcul du test de Jarque-Bera[modifier | modifier le code]

Avec le logiciel libre de statistiques R, il est possible de calculer le test de Jarque-Bera à partir du paquet tseries.

Un autre paquet, nortest, propose plusieurs autres test de normalité.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. page 275 de Lardic, Mignon (2002), Econométrie des séries temporelles macroénonomiques et financières, Economica, Paris,
  2. page 174 de Verbeek (2000) Modern Econometrics, Wiley

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

R. Rakotomalala, Tests de Normalité, Techniques empiriques et Tests statistiques

R. Sneyers, Sur Tests de Normalité, Revue de Statistique Appliquée, 2(22), 29-36, 1974.