Temps d'arrêt

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Définitions[modifier | modifier le code]

Définition — Une variable aléatoire T : \Omega \rightarrow \mathbb N \cup \{ \infty \} est un temps d'arrêt par rapport à une filtration (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} si,

\forall n \in \mathbb N,\quad\{T=n\} \in \mathcal{F}_n,

ou bien, de manière équivalente, si,

\forall n \in \mathbb N,\quad\{T\le n\} \in \mathcal{F}_n.

Interprétation[modifier | modifier le code]

Imaginons que \scriptstyle\ \mathcal{F}_n\ désigne ici la tribu engendrée par la suite \scriptstyle\ (X_k)_{0\le k\le n},\ et que les variables aléatoires \scriptstyle\ X_k\ représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états \scriptstyle\ E\ fini ou dénombrable, une partie \scriptstyle\ A\subset \Omega\ appartient à \scriptstyle\ \mathcal{F}_n\ si et seulement s'il existe \scriptstyle\ B\subset E^{n+1}\ tel que


\begin{align}
A
&=
\left\{(X_0,X_1,\dots,X_n)\in B\right\}
\\
&=
\left\{\omega\in\Omega\ |\ \left(X_k(\omega)\right)_{0\le k\le n}\in B\right\}.
\end{align}

Supposons que \scriptstyle\ T\ représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : \scriptstyle\ T\ est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout \scriptstyle\ n\ il existe un sous ensemble \scriptstyle\ B_n\subset E^{n+1}\ tel que  :


\{T=n\}\quad \Leftrightarrow\quad\left\{(X_0,X_1,\dots,X_n)\in B_n\right\}.

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

Notations[modifier | modifier le code]

  • Soient (X_n)_n\ge 0\ une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}. Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté \ X_T(\omega),\ et est défini par
\begin{align}X_T(\omega)&=X_{T(\omega)}(\omega)\\
&=\sum_{n\ge 0}X_n(\omega)1_{T(\omega)=n}.
\end{align}
Sur l'ensemble \{\omega\in\Omega\,|\,T(\omega)=+\infty\},\ la définition de \ X_T(\omega)\ est problématique : l'ambigüité est de facto levée en posant \ X_T(\omega)=0.\
  • Soit T \, un temps d'arrêt et soit N \in \mathbb N :
    • T \wedge N est la variable aléatoire définie par (T \wedge N)(\omega)=\min(T(\omega),N)\,;
    • T \vee N est la variable aléatoire définie par (T \vee N)(\omega)=\max(T(\omega),N) \,.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriété — Soit T\, un temps d'arrêt, soit N\in \mathbb N. Alors S:= T \wedge N,\ S^{\prime}:=T \vee N\ et \ S^{\prime\prime}:=T+N\ sont des temps d'arrêt.

Propriété — De même, si S\ et \ T sont des temps d'arrêts, alors S\wedge T en est un.

Définition et propriété — Soit T\, un temps d'arrêt et A \in \mathcal{F}_\infty\ :\ A\, est appelé évènement antérieur à T\, si:

\forall n \in \mathbb N \ A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n.

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de \mathcal{F}_\infty appelée tribu antérieure à T\, et notée \mathcal{F}_T.

Proposition — Soient S\, et T\, deux temps d'arrêts tels que S\le T p.s.. On a alors \mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T.

Lemme — Soit Z\, une variable aléatoire \mathcal{F}_\infty-mesurable. Z\, est \mathcal{F}_T-mesurable ssi \forall n\ ,\ 1_{(T=n)}\times Z est \mathcal{F}_n-mesurable.

Proposition — X_T\, est \mathcal{F}_T-mesurable.

Exemples et contrexemples[modifier | modifier le code]

Considérons une suite \scriptstyle\ X=(X_k)_{k\ge 0}\ de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble \scriptstyle\ E,\ et notons \scriptstyle\ \mathcal{F}_n\ la tribu engendrée par la suite \scriptstyle\ (X_k)_{0\le k\le n}.\ Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration \scriptstyle\ (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} :

  • Soit \scriptstyle\ j\ un élément de \scriptstyle\ E\  ; on appelle instant de premier retour en \scriptstyle\ j,\ et on note \scriptstyle\ R_j,\ la variable aléatoire définie ci-dessous :

R_j
=
\left\{
\begin{array}{lll}
\inf\left\{n > 0\,\vert\,X_n = j\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n > 0\,\vert\,X_n = j\right\} \neq\emptyset,\\
+\infty& &\textrm{sinon.}
\end{array}
\right.
  • De même pour \scriptstyle\ C\ une partie de \scriptstyle\ E,\ on appelle instant de première entrée dans \scriptstyle\ C,\ et on note \scriptstyle\ T_C,\ la variable aléatoire ci-dessous définie :

T_C
=
\left\{
\begin{array}{lll}
\inf\left\{n \ge 0\,\vert\,X_n \in C\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n \ge 0\,\vert\,X_n \in C\right\} \neq\emptyset,\\
+\infty& &\textrm{sinon.}
\end{array}
\right.
  • L'instant de \scriptstyle\ k-ème retour en \scriptstyle\ i,\ noté \scriptstyle\ R^{(k)}_i\ et défini par récurrence par :

R^{(k)}_i
=
\left\{
\begin{array}{lll}
\inf\left\{n > R^{(k-1)}_i\,\vert\,X_n = i\right\}& &\textrm{si }\quad\left\{n > R^{(k)}_i\,\vert\,X_n = i\right\} \neq\emptyset,\\
+\infty& &\textrm{sinon.}
\end{array}
\right.,
ou encore l'instant de \scriptstyle\ k-ème entrée dans \scriptstyle\ C,\ sont des t.a..
  • Pour \scriptstyle\ i\ et \scriptstyle\ j\ dans \scriptstyle\ E,\ on pose \scriptstyle\ T = \inf\left\{n \ge  0\,\vert\,X_n = i \text{ et } X_{n+1} = j\right\}.\ On peut montrer que \scriptstyle\ T \ n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, \scriptstyle\ T + 1\ est un temps d'arrêt.