Tache d'Airy

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Exemple de tache d'Airy simulée par ordinateur.

La nature ondulatoire de la lumière fait que celle-ci est diffractée après le passage à travers un trou. Plus la taille du trou diminue, plus l'effet de la diffraction est visible.
Le cas particulier d'un trou parfaitement circulaire donne une figure de diffraction, appelée tache d'Airy (du nom de George Biddell Airy), présentant un disque central, et des cercles concentriques de plus en plus atténués. Le rayon du 1er zéro (cercle sombre) est lié à la longueur d'onde $λ$ du faisceau et à l'ouverture (diamètre) $d$ du dispositif diffractant:
$\sin \theta \simeq 1.22 \frac{\lambda}{d}$
où $θ$ est l'ouverture du cône ayant pour sommet le trou et pour base le premier disque.

Il ne faut pas confondre cette valeur avec la largeur à mi-hauteur (Full Width Half Maximum).

L'ouverture numérique caractérise le cône d'observation et est définie par le produit de la focale par le sinus de l'angle $α$ d'ouverture du cône en prenant en compte l'indice optique $n$ du milieu :
$d = f * n . s i n α$
Pour les objectifs à air, on prend $n = 1$ et la formule se résume à $d = f . s i n α$ , mais en microscopie optique, on utilise des milieux d'indice plus élevé (huile d'immersion, glycérol, eau) permettant d'améliorer la résolution (et aussi la luminosité).
Un effet important de cette tache, est la dégradation de la résolution des images dans les appareils optiques (appareil photographique, télescope…). Cette limite de résolution définit le critère de Rayleigh, limite de séparation entre deux objets (dépassée maintenant grâce aux techniques d'imagerie numérique et de déconvolution d'images).

[modifier] Formule mathématique

L'éclairement donné par la diffraction de Fraunhofer est le carré du module de la transformée de Fourier bidimensionnelle de l'ouverture circulaire :

$E(\theta) = E_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2$ où

J 1

est la fonction de Bessel du premier ordre,

E 0

le maximum d'intensité de la source,

a

le rayon du trou, et $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ le nombre d'onde.

Le premier zéro de $J 1$ est atteint en $x_0 = 3.831705970 \simeq 3.83$ , donc le premier zéro de la figure de diffraction correspond à:
$\sin \theta_1 =\frac{x_0 \lambda}{2 \pi a} = \frac{x_0 \lambda}{\pi d} \simeq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ , où $d$ est le diamètre du trou.

Les valeurs approchées des abscisses des 5 premiers zéros de la tache d'Airy sont:
$\sin \theta_1 \simeq 1.22\frac{\lambda}{d}$ $\qquad \qquad$ $\sin \theta_2 \simeq 2.23\frac{\lambda}{d}$ $\qquad \qquad$ $\sin \theta_3 \simeq 3.24\frac{\lambda}{d}$ $\qquad \qquad$ $\sin \theta_4 \simeq 4.24\frac{\lambda}{d}$ $\qquad \qquad$ $\sin \theta_5 \simeq 5.24\frac{\lambda}{d}$ .

La mi-hauteur du pic central (tel que $J_1(x)= {x} /{2 \sqrt{2}}$ ) est atteinte pour x = 1.616339948...; Donc la largeur à mi-hauteur (FHWM) vaut : $\sin \theta = 0.514636236 \frac{\lambda}{d} \simeq .51 \frac{\lambda}{d}$
Le point à 1/e² (tel que $J 1 (x) = x / 2 e$ ) arrive à x = 2.58383...;
et le maximum du premier anneau est atteint pour x = 5.13562....