Tache d'Airy

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Exemple de tache d'Airy simulée par ordinateur.

La tache d′Airy est la figure de diffraction résultant de la traversée d'un trou circulaire par la lumière. On parle de tache d'Airy dans le cas des systèmes optiques pour qualifier la meilleure image possible d'un point source par ce système. Un système dont la réponse impulsionnelle donne une tache d'Airy est dit limité par la diffraction.

Le nom de cette figure provient de George Biddell Airy, un scientifique anglais qui découvrit et décrivit le phénomène en 1835 dans « On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture ».

La figure présente une symétrie de révolution et prend la forme d'une tache brillante auréolée de cercles concentriques de plus faible luminosité.

Découverte[modifier | modifier le code]

On doit la description du phénomène à George Biddell Airy en 1835[1] alors que le phénomène de diffraction avait déjà été découvert depuis plus d'une dizaine d'années.

Géométrie[modifier | modifier le code]

Le rayon du 1er zéro (cercle sombre) est lié à la longueur d'onde \lambda du faisceau et à l'ouverture (diamètre) d du dispositif diffractant:

 \sin \theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{d},

 \theta est l'ouverture du cône ayant pour sommet le trou et pour base le premier disque.

La tache d'Airy décrit en général des systèmes optiques, on relie donc souvent la formule du disque aux caractéristiques optiques du système. L'ouverture numérique caractérise le cône d'observation et est définie par le produit de la focale par le sinus de l'angle d'ouverture du cône. De ce fait :

 \sin \theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{f' n \sin{ \alpha} },

Cette formule résulte de la théorie de la diffraction, montrant que l'éclairement est le carré du module de la transformée de Fourier bidimensionnelle de l'ouverture circulaire E(\theta) = E_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2J_1 est la fonction de Bessel du premier ordre, E_0 le maximum d'intensité de la source, a le rayon du trou, et k = \frac{2 \pi}{\lambda} le nombre d'onde.


Valeurs approchées des abscisses des 5 premiers zéros de la tache d'Airy
\sin \theta_1 \simeq 1.22\frac{\lambda}{d}
\sin \theta_2 \simeq 2.23\frac{\lambda}{d}
\sin \theta_3 \simeq 3.24\frac{\lambda}{d}
\sin \theta_4 \simeq 4.24\frac{\lambda}{d}
\sin \theta_5 \simeq 5.24\frac{\lambda}{d}

Le premier zéro de J_1 est atteint en x_0  = 3.831705970 \simeq  3.83, donc le premier zéro de la figure de diffraction correspond à \sin \theta_1 =\frac{x_0 \lambda}{2 \pi a} = \frac{x_0 \lambda}{\pi d} \simeq  1.22 \frac{\lambda}{d}, où d est le diamètre du trou.

La mi-hauteur du pic central (tel que J_1(x)= {x} /{2 \sqrt{2}} ) est atteinte pour x = 1.616339948. Donc la largeur à mi-hauteur (FHWM) vaut : \sin \theta = 0.514636236 \frac{\lambda}{d} \simeq  .51 \frac{\lambda}{d}

Le point à 1/e² (tel que  J_1(x)= {x} /{2 e}) arrive à x = 2.58383. Et le maximum du premier anneau est atteint pour x = 5.13562.

Pouvoir de résolution[modifier | modifier le code]

Un effet important de cette tache, est la dégradation de la résolution des images dans les appareils optiques (appareil photographique, télescope…). On peut calculer le critère de Rayleigh avec ce profil de la tache d'Airy, donnant une formule de la limite de séparation entre deux objets. Des techniques numériques de traitement d'image, comme la déconvolution, permettent de compenser en partie ce phénomène d'étalement du signal.

Limitation des performances d'un système optique[modifier | modifier le code]

Apodisation[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) George Biddell Airy, « On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5,‎ 1835, p. 283-291 (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Démonstration sur le site de l'Observatoire de Paris