Plimpton 322

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La tablette Plimpton 322.

Parmi les quelque 500 000 tablettes d'argile babyloniennes mises au jour depuis le début du XIXe siècle, plusieurs milliers offrent un contenu de nature mathématique. La tablette nommée Plimpton 322 (parce qu'elle porte le no 322 dans la collection « G. A. Plimpton » de l’université Columbia) est l'un des spécimens le plus connu de ces mathématiques babyloniennes. Cette tablette, dont la rédaction daterait de vers -1800, comporte un tableau de nombres cunéiformes rangés sur 15 lignes par 4 colonnes. Ces nombres peuvent être associés à ce que l'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des nombres entiers a, b et c qui vérifient la relation a2 + b2 = c2 donnée par le théorème de Pythagore, comme 3, 4 et 5.

Provenance et datation[modifier | modifier le code]

La tablette Plimpton 322 est une tablette d'argile d'environ 12,7 × 8,8 cm, et épaisse de 2 cm, incomplète car elle présente une cassure sur le bord gauche (en l'orientant dans le sens de lecture). Comme beaucoup d'autres tablettes d'argiles de l'ancien Irak dans les années 1920, elle a été découverte lors de fouilles illégales et s'est retrouvée sur le marché des antiquités. L'éditeur new-yorkais George Arthur Plimpton (en) racheta vers 1922 cette tablette à Edgar J. Banks, un marchand qui avait été assyriologue, et la légua, avec le reste de sa collection, à l'Université Columbia au milieu des années 1930. Selon Banks, la tablette provenait de Senkereh, un site du sud de l'Irak où l'on situe l'antique cité de Larsa[1]. Des traces de colle moderne sur la cassure pourraient laisser penser que la tablette était complète quand elle a été découverte, et que la partie manquante pourra un jour être retrouvée[2]. Cependant, les trafiquants d'antiquité n'hésitaient pas pour en augmenter la valeur à reconstituer une tablette factice complète à partir de fragments de tablettes distinctes, reconstitution que Banks, ex assyriologue, n'aurait alors pas conservée[3].

En partie d'après le style de l'écriture cunéiforme, on estime que la tablette a été rédigée au plus tard en -1600[4] et vraisemblablement vers -1800 : Robson (2002) indique que cette écriture « est caractéristique des documents du sud de l'Irak d'il y a 3500 à 4000 ans ». De façon plus précise, en s'appuyant sur les similitudes de format avec d'autres tablettes de Larsa qui portent une date, elle estime que la tablette Plimpton 322 a été produite entre -1822 et –1784[5].

La tablette est publiée et traduite pour la première fois en 1945 par Otto Neugebauer et Abraham Sachs (en) (Neugebauer & Sachs 1945). Elle est décrite par Neugebauer lui-même dans (Neugebauer 1951), qui est la source la plus fréquente des livres généralistes d'histoire des mathématiques publiés depuis. Elle a été depuis largement analysée, commentée, et interprétée : c'est la tablette d'argile sur laquelle le plus d'études avaient été publiées au moins jusque vers 2000[6].

Les nombres[modifier | modifier le code]

La tablette Plimpton 322 présente un tableau de nombres de quatre colonnes et quinze lignes, en numération sexagésimale babylonienne. Chacune de ces colonnes est précédée d'un entête écrit dans un mélange de Sumérien et d'Akkadien. La tablette est brisée au niveau de la première colonne (la plus à gauche) qui est incomplète de même que son entête. Il est possible que des colonnes supplémentaires se soient trouvées sur la partie manquante.

La quatrième colonne donne la numérotation des lignes, de 1 à 15. Les deuxième et troisième colonnes sont intactes et demeurent parfaitement lisibles. Leurs entêtes font références à une diagonale (ou hypoténuse) pour la troisième colonne, et à un plus petit côté pour la seconde colonne[7]. Les nombres correspondent bien, éventuellement à un diviseur entier près, au plus grand nombre (troisième colonne) et au plus petit nombre (deuxième colonne) d'un triplet pythagoricien, soit à l'hypoténuse et au plus petit côté d'un triangle rectangle (ou à la diagonale et au plus petit côté d'un rectangle) dont les côtés peuvent être mesurés par des entiers, à quelques exceptions près pour lesquelles il est tout à fait plausible qu'il s'agisse d'erreurs (la plupart s'expliquent simplement comme des erreurs de copie ou de calcul[8]). Le troisième nombre du triplet est absent de la tablette (du moins dans l'état dans laquelle elle a été conservée)[9].

Le bord gauche de la première colonne est manquant, et l'on dispose de deux reconstitutions plausibles des chiffres qui ont disparu. Ces deux interprétations ne diffèrent que par l'existence ou non d'un 1 comme premier chiffre. Voici la liste des nombres de la tablette dans une notation sexagésimale moderne, après corrections des « erreurs » du scribe, reconstitution des zéros de position plausibles (la notation sexagésimale de cette époque n'en utilise pas), et avec le premier chiffre éventuellement extrapolé entre parenthèses[10] :

(1:)59:00:15 1:59 2:49 1
(1:)56:56:58:14:50:06:15 56:07 1:20:25 2
(1:)55:07:41:15:33:45 1:16:41 1:50:49 3
(1:)53:10:29:32:52:16 3:31:49 5:09:01 4
(1:)48:54:01:40 1:05 1:37 5
(1:)47:06:41:40 5:19 8:01 6
(1:)43:11:56:28:26:40 38:11 59:01 7
(1:)41:33:45:14:03:45 13:19 20:49 8
(1:)38:33:36:36 8:01 12:49 9
(1:)35:10:02:28:27:24:26 1:22:41 2:16:01 10
(1:)33:45 45 1:15 11
(1:)29:21:54:02:15 27:59 48:49 12
(1:)27:00:03:45 2:41 4:49 13
(1:)25:48:51:35:06:40 29:31 53:49 14
(1:)23:13:46:40 56 1:46 15

La conversion de ces nombres de la numération sexagésimale à la numération décimale soulève de nouvelles questions, dans la mesure où la numération sexagésimale des Babyloniens ne précisait pas l'ordre (milliers, centaines, etc.) du premier chiffre d'un nombre. Ainsi à la ligne 11 on lit 45 (seconde colonne) et 1:15 (troisième colonne), ce qui peut signifier 45 et 75 (= 1×60 + 15), mais aussi 3/4 (= 45/60) et 5/4 (=1 + 15/60).

Trois interprétations[modifier | modifier le code]

Du fait des entêtes des colonnes et des valeurs des nombres, les historiens interprètent à chaque ligne le nombre de la deuxième colonne comme le petit côté s d'un triangle rectangle (ou d'un rectangle), et le nombre de la troisième colonne comme l'hypoténuse d de ce triangle (ou la diagonale du rectangle). Quant au nombre de la première colonne, ce pourrait être, ou bien la fraction \tfrac{s^2}{l^2}, ou \tfrac{d^2}{l^2}, où l désigne le côté long de l’angle droit du triangle rectangle.

Ils s'accordent également sur le fait qu'en corrigeant ce qu'ils interprètent comme des erreurs du scribe, la seconde et la troisième colonne correspondent aux deux membres d'un « triplet pythagoricien », éventuellement à un diviseur près, celui-ci étant une puissance de 60, mais ils ne s'accordent pas sur les connaissances arithmétiques que cela suppose de la part des Babyloniens, qui ne sont pas forcément les connaissances arithmétiques auxquelles renvoient aujourd'hui, ou même dans l'antiquité grecque, la notion de triplet pythagoricien (voir la suite). Par exemple, la ligne 11 du tableau correspond à un triangle de petit côté de longueur 45 et d’hypoténuse de longueur 75. Le grand côté (non inscrit) possède alors une longueur de 60 (452 + 602 = 752), avec le même rapport de côtés que le triangle (3,4,5) familier.

Pour le reste la destination de la tablette reste une « énigme »[11], pour laquelle plusieurs hypothèses divergentes ont été données, et la façon dont a été engendré le tableau de nombres est également débattue. La partie manquante de la tablette a très bien pu contenir d'autres colonnes de nombres, et la nature de celles-ci intervient dans les différentes reconstitutions.

Une explication arithmétique ?[modifier | modifier le code]

Neugebauer (1951) (à partir de Neugebauer et Sachs(1945)) propose une interprétation de nature plutôt arithmétique, et pense que cette table a pu être produite par un procédé qui permet d'engendrer les triplets pythagoriciens.

Si p et q sont deux nombres tels que p > q, alors le triplet (p2 - q2, 2pq, p2 + q2 ) vérifie la relation donnée par le théorème de Pythagore, en particulier si les nombres p et q sont entiers c'est un triplet pythagoricien. En fait on obtient de cette façon tous les triplets pythagoriciens réduits (ceux dont on ne peut diviser les trois composantes par un même nombre entier) en prenant p et q deux nombres premiers entre eux de parités distinctes. Les triplets pythagoriciens en général sont tous des multiples des triplets réduits. Ainsi, la ligne 11 peut être obtenue avec cette formule en prenant p = 2 et q = 1 (triplet (3,4,5)) puis en multipliant par le nombre approprié.

Neugebauer remarque que chaque ligne de la tablette peut être engendrée par cette méthode à partir d'un couple (p,q) de nombres réguliers, c’est-à-dire de nombres entiers qui n'ont pas d'autre diviseur premier que 2, 3 et 5. Ce sont exactement les diviseurs d'une puissance de 60, et donc un quotient dont le dénominateur est un nombre régulier a une écriture sexagésimale finie. C'est le cas des quotients de la première colonne. Ces nombres sont de plus, à une exception près qui se justifie, ceux qui apparaissent dans les tables d'inverses standard des mathématiques babyloniennes (utilisées pour les calculs de division). Enfin les lignes sont classées par ordre décroissant selon la première colonne (quotient d2/l2), la décroissance étant quasi-linéaire (plus encore avec le quotient d/l )[12].

Pour Neugebauer, tout ceci laisse fortement penser que la formule qui permet d'engendrer les triplets pythagoriciens est connue et a été utilisée pour engendrer les nombres de la tablette. Étant données les limites des connaissances arithmétiques des babyloniens, au vu de ce que l'on connait ils ignorent par exemple la notion de nombre premier, il suggère une origine algébrique à la découverte de la formule, à partir de la résolution de l'équation du second degré[13].

Cependant cette hypothèse est l'objet de plusieurs critiques de la part de Robson (Robson 2001 et Robson 2002). La tablette est composée suivant les règles en usage à Larsa (format, entêtes, langue utilisée pour celles-ci : akkadien, avec des abréviations en sumerien). En suivant celles-ci, la partie manquante de la tablette aurait dû faire apparaître les nombres p et q (dans l'ordre des calculs de gauche à droite) et les lignes auraient dues être classées en ordre décroissant suivant p et q ce qui n'est pas le cas[14]. Depuis qu'elle a été émise par Neugebauer, cette hypothèse n'a toujours pas permis d'explication satisfaisante pour la première colonne[14]. Elle ne s'intègre pas dans un schéma de calcul qui expliquerait l'ordre de ces colonnes, et son entête est inexplicable[15]. Il n'y a pas non plus d'explication satisfaisante pour le choix des valeurs de p et q, étant donnés les 44 nombres réguliers présents dans les tables de réciproque[16]. Robson estime que cette hypothèse ne peut plus être considérée comme satisfaisante[17].

Une table trigonométrique ?[modifier | modifier le code]

En complément de l'hypothèse de Neugebauer, plusieurs historiens et mathématiciens ont suggéré que la tablette pouvait être une table trigonométrique[18]. En effet les valeurs de la première colonne représentent le carré de la cosécante ou de la tangente (selon qu'il y a, ou non, un 1 en tête) de l'angle opposé au petit côté du triangle rectangle décrit par la ligne correspondante. De plus, si on se réfère à cet angle, les lignes sont rangées selon des angles décroissants, et approximativement de degré en degré. Cette hypothèse soulève de nombreuses questions, la première étant l'utilité d'une table de carrés de tangentes ou (de cosécantes)[19]. Robson s'appuie entre autres sur des données linguistiques pour réfuter cette théorie « anachronique d'un point de vue conceptuel » : elle repose sur un trop grand nombre d'idées absentes des mathématiques babyloniennes de cette époque[20].

Une liste d'exercices algébriques ?[modifier | modifier le code]

Robson (2001, 2002), s’appuyant sur les travaux antérieurs de Bruins (1949, 1955) et d’autres, suggère plutôt une approche que l’on pourrait qualifier d’algébrique, bien qu'elle l’exprime en termes géométriques concrets, étant d’avis que les Babyloniens eux-mêmes l’auraient exprimée ainsi. Robson fonde son interprétation sur le contenu d’une autre tablette, la tablette YBC 6967, à peu près contemporaine et provenant de la même région[21]. Cette tablette décrit une méthode pour résoudre ce que nous qualifions aujourd’hui d’équation du second degré de la forme x-\tfrac1x=c. Cette méthode se déroule en plusieurs calculs intermédiaires (qui peuvent se décrire en termes géométriques, selon le point de vue de Jens Høyrup adopté par Robson) :

  • v_1 = \frac{c}{2}
  • v_2 = {v_1}^2
  • v_3 = 1 + {v_2}
  • et v_4 =\sqrt[]{v_3}

avec la solution donnée par x =v_4+v_1 et \frac{1}{x} =v_4-v_1.

Robson suggère que les colonnes de la tablette Plimpton 322 doivent être interprétées comme les évaluations de ces différents termes, x prenant les valeurs d'entiers réguliers successifs :

  • v3 dans la première colonne,
  • v1 = (x - 1/x)/2 dans la seconde colonne,
  • et v4 = (x + 1/x)/2 dans la troisième colonne.

Selon cette interprétation, x et 1/x devaient figurer à gauche de la première colonne, sur l’éclat manquant de la tablette. Par exemple, on peut reconstituer le contenu de la ligne 11 de la tablette Plimpton 322 en prenant x = 2. Ainsi, la tablette fournit la suite des solutions au problème posé dans la tablette YBC 6967. Elle pouvait servir, d’après Robson, à un professeur instruisant ses élèves.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Robson 2002, p. 109, Robson 2001, p. 172.
  2. Neugebauer 1951, p. 36.
  3. Robson 2001, p. 172.
  4. Buck 1980, p. 340
  5. Robson 2002, p. 111.
  6. Robson 2001, p. 174.
  7. Voir Robson 2001, p. 173-174 pour les entêtes exacts, et une discussion au sujet de leur signification.
  8. Robson 2001, p. 175.
  9. Robson 2001, p. 173-174
  10. Robson 2001, p. 173
  11. Selon Høyrup 1998, p. 400
  12. Neugebauer 1951, p. 38-40 (2nd ed. 1969).
  13. Neugebauer 1951, p. 40-42 (2nd ed. 1969).
  14. a et b Robson 2002, p. 111.
  15. Robson 2001, p. 178
  16. Robson 2001, p. 177-178
  17. [...]we can no longer consider the p, q theory a satisfactory interpretation of Plimpton 322, Robson 2001, p. 179
  18. Un exemple est Joyce 1995, cité par Robson 2002, p. 107.
  19. Buck 1980, p. 344.
  20. Robson 2002, p. 179-183.
  21. O. Neugebauer, A. J. Sachs, Mathematical Cuneiform Texts, vol. 29, New Haven, American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, coll. « American Oriental Series »,‎ 1945, text Ua p.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

L'article (Robson 2002) donne une description et une analyse de la tablette, ainsi qu'une analyse critique des diverses hypothèses auxquelles a donné lieu son interprétation ; (Robson 2001) en est une version plus longue et plus technique qui comporte une bibliographie très complète.

  • (en) Evert M. Bruins, « On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian mathematics », Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings, vol. 52,‎ 1949, p. 629–632
  • (en) Evert M. Bruins, « Pythagorean triads in Babylonian mathematics: The errors on Plimpton 322 », Sumer, vol. 11,‎ 1951, p. 117–121
  • (en) R. Creighton Buck, « Sherlock Holmes in Babylon », American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 87, no 5,‎ 1980, p. 335–345 (DOI 10.2307/2321200, lire en ligne).
  • John H. Conway et Richard K. Guy, Le livre des nombres [« The Book of Numbers »], Eyrolles,‎ 1996 (réimpr. 1998), 172–176 p. (ISBN 2-212-03638-1[à vérifier : ISBN invalide])
  • (en) Jens Høyrup, « Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’ – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics », dans Johannes Renger (ed.), Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft, 24.–26. März 1998 in Berlin, Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag,‎ 1998 (lire en ligne), p. 393–407.

Liens externes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]