Table de primitives

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Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par C une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

\textstyle\int f(x)\,\mathrm dx – appelé intégrale indéfinie de f – désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction f à une constante additive près.

Règles générales d'intégration[modifier | modifier le code]

avec u = f(x), u' = f'(x), v = g(x), v' = g'(x) et \mathrm dx implicite.

Primitives de fonctions simples[modifier | modifier le code]

Article connexe : Primitive#Primitives courantes.

Note : dans toutes les formules suivantes, C est une constante réelle (  C \in \R ).

 \int \,\mathrm dx = x + C \qquad \forall x \in \R

Primitives de fonctions rationnelles[modifier | modifier le code]

 \int x^n\,\mathrm dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{ si } n \ne -1
 \int \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln \left| x \right| + C \qquad \text{ si } x \ne 0
 \int \frac{1}{x-a} \, \mathrm dx  = \ln | x-a | + C \qquad \text{ si } x \ne a
 \int \frac{1}{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad \text{ si } n \ne 1 \text{ et } x \ne a
 \int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}(x) + C \qquad \forall x \in \R
 \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad \text{ si } a \ne 0
 \int \frac{1}{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C =\begin{cases} \operatorname{Argth}(x) + C \qquad \text{ sur }]-1,1[\\\operatorname{Argcoth}(x) + C \qquad \text{ sur }]-\infty,-1[\text{ et sur }]1,+\infty[.\end{cases}

Primitives de fonctions logarithmes[modifier | modifier le code]

 \forall x \in \R_+^*, \text{ i.e. } x > 0,
 \int \ln (x)\,\mathrm dx = x \ln (x) - x + C
 \int \log_b (x)\,\mathrm dx = x \log_b (x) - x \log_b (e) + C

Plus généralement, une primitive n-ième de  \ln (x) est donnée par :

 \frac{x^n}{n!} \left( \ln (x) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) + P_{n-1}(x)     avec  P_{n-1}(x) un polynôme de degré  n-1

Primitives de fonctions exponentielles[modifier | modifier le code]

 \forall x \in \R,
 \int e^x\,\mathrm dx = e^x + C
 \int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad \text{ si } a > 0  et a ≠ 1 car ln(1) = 0

Primitives de fonctions irrationnelles[modifier | modifier le code]

 \forall x \in \R \setminus \{-1;1\}, \text{ i.e. } x \ne -1 \text{ et } x \ne 1,
 \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arcsin} (x) + C
 \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arccos} (x) + C
 \int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C

Primitives de fonctions trigonométriques[modifier | modifier le code]

Primitives de fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Primitives de fonctions circulaires réciproques[modifier | modifier le code]

Primitives de fonctions hyperboliques réciproques[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Calculateur automatique de primitive par Mathematica