Table de primitives

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par $C$ une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

$\textstyle\int f(x)\,\mathrm dx$ – appelé intégrale indéfinie de $f$ – désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction $f$ à une constante additive près.

Règles générales d'intégration

• Linéarité :
  $\int \left( {\color{ Red } a } \, {\color{ Blue } f(x) } + {\color{ OliveGreen } b } \, {\color{ blue } g(x) } \right) \mathrm dx = {\color{ Red } a } \int {\color{ Blue } f(x) } \, \mathrm dx + {\color{ OliveGreen } b } \int {\color{ Blue } g(x) } \, \mathrm dx$
• relation de Chasles :
  $\int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm dx = \int_{a}^{\color{ Red } b} f(x) \,\mathrm dx + \int_{\color{ Red } b}^{c} f(x) \, \mathrm dx$
  et en particulier :
  $\int_{\color{ OliveGreen } a}^{\color{ Red } b} f(x) \, \mathrm dx = {\color{ Red } - } \int_{\color{ Red } b}^{\color{ OliveGreen } a} f(x) \, \mathrm dx$
• intégration par parties :
  $\int {\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ Red } g'(x)} \, \mathrm dx = [{\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ Red } g(x)}] - \int {\color{ Blue } f'(x)} \, {\color{ Red } g(x)} \, \mathrm dx$
  moyen mnémotechnique :
  $\int {\color{ Blue } u} {\color{ Red } v'} = [{\color{ Blue } u} {\color{ Red } v}] \ - \int {\color{ Blue } u'} {\color{ Red } v}$

avec $u = f(x)$, $u' = f'(x)$, $v = g(x)$, $v' = g'(x)$ et $\mathrm dx$ implicite.

• intégration par changement de variable (si f et φ' sont continues) :
  $\int_a^b f( {\color{ Blue } \varphi(t)} ) \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} \, \mathrm d{\color{ Blue } t} = \int_{\color{ Red } \varphi(a)}^{\color{ Red } \varphi(b)} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}$
  et en particulier :
  $\int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, \mathrm dt = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}$

Explication

$\text{ soient } {\color{ Blue } \varphi(t)} = {\color{ Red } c} t, \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} = {\color{ Red } c} \text{ et } {\color{ Red } c} \ne 0,$

$\int_a^b f({\color{ Blue } \varphi(t)}) \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} \, \mathrm d{\color{ Blue } t} = \int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, {\color{ Red } c} \, \mathrm dt = \int_{\color{ Red } \varphi(a)}^{\color{ Red } \varphi(b)} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x} = \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}$

or, nous savons que :

$\int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, \mathrm dt = \int_a^b f({\color{ Red } c}t) \, {\color{ Red } \frac{c}{c} } \, \mathrm dt = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \left( \int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, {\color{ Red } c} \, \mathrm dt \right) = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \left( \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x} \right) = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}$

Primitives de fonctions simples

Article connexe : Primitive#Primitives courantes.

Note : dans toutes les formules suivantes, C est une constante réelle ( $C \in \R$ ).

$\int \,\mathrm dx = x + C \qquad \forall x \in \R$

Primitives de fonctions rationnelles

$\int x^n\,\mathrm dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{ si } n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln \left| x \right| + C \qquad \text{ si } x \ne 0$

$\int \frac{1}{x-a} \, \mathrm dx = \ln | x-a | + C \qquad \text{ si } x \ne a$

$\int \frac{1}{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac{(x-a)^{1-n}}{n-1} + C \qquad \text{ si } n \ne 1 \text{ et } x \ne a$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}(x) + C \qquad \forall x \in \R$

$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad \text{ si } a \ne 0$

$\int \frac{1}{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C =\begin{cases} \operatorname{Argth}(x) + C \qquad \text{ sur }]-1,1[\\\operatorname{Argcoth}(x) + C \qquad \text{ sur }]-\infty,-1[\text{ et sur }]1,+\infty[.\end{cases}$

Primitives de fonctions logarithmes

$\forall x \in \R_+^*, \text{ i.e. } x > 0,$

$\int \ln (x)\,\mathrm dx = x \ln (x) - x + C$

$\int \log_b (x)\,\mathrm dx = x \log_b (x) - x \log_b (e) + C$

Plus généralement, une primitive n-ième de $\ln (x)$ est donnée par :

$\frac{x^n}{n!} \left( \ln (x) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) + P_{n-1}(x)$     avec $P_{n-1}(x)$ un polynôme de degré $n-1$

Primitives de fonctions exponentielles

$\forall x \in \R,$

$\int e^x\,\mathrm dx = e^x + C$

$\int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad \text{ si } a > 0$ et a ≠ 1 car ln(1) = 0

Primitives de fonctions irrationnelles

$\forall x \in \R \setminus \{-1;1\}, \text{ i.e. } x \ne -1 \text{ et } x \ne 1,$

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arcsin} (x) + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arccos} (x) + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C$

Primitives de fonctions trigonométriques

Article détaillé : Primitives de fonctions trigonométriques.

Primitives de fonctions hyperboliques

Article détaillé : Primitives de fonctions hyperboliques.

Primitives de fonctions circulaires réciproques

Article détaillé : Primitives de fonctions circulaires réciproques.

Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

Article détaillé : Primitives de fonctions hyperboliques réciproques.

Voir aussi

Articles connexes

• Calcul intégral
• Calcul numérique d'une intégrale
• Intégration
• Table d'intégrales

Lien externe

Calculateur automatique de primitive par Mathematica