Série géométrique

Preuve sans mots de l'égalité
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 1

Illustration de l'égalité
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ = 1/3 :
chacun des carrés violets mesure 1/4 de la surface du grand carré le plus proche (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). Par ailleurs, la somme des aires des carrés violets est égale à un tiers de la superficie du grand carré.

En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. C'est la série des termes d'une suite géométrique. Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. Par exemple, la série

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

est géométrique, parce que chaque terme est le produit du précédent par 1/2.

Elle admet, dans les algèbres de Banach, une généralisation qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Définition dans le corps des réels

Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial $u_{0}=a\in \mathbb {R}$ et de raison $q\in \mathbb {R}$. La suite $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ des sommes partielles de cette suite est définie par

$S_{n}=\sum _{0\leq k<n}u_{k}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n-1}$

(en particulier, S₀ = 0). Accessoirement, on peut en déduire l'élément suivant de la suite $(u_{k})$ :

$u_{n}=S_{n+1}-S_{n}=(a+qS_{n})-S_{n}=a+(q-1)S_{n}.$

Terme général

Sachant que terme général de la suite géométrique $(u_{k})$ est $u_{k}=aq^{k}$, et en excluant le cas $q=1$ qui donne $S_{n}=na$, le terme général de la suite $(S_{n})$ des sommes partielles de la série s'écrit  :

$S_{n}=a\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

Exemple numérique

On cherche à calculer la somme des puissances k-ièmes de 2 pour k entier allant de 0 à 8. C'est la somme des 9 premiers termes de la série géométrique de raison 2 et de premier terme 1 :

$S_{9}=1+2+4+8+16+32+64+128+256.$

La formule de la section précédente s'écrit ici :

$S_{9}=1\times {\frac {1-512}{1-2}}=511.$

Preuve par récurrence

L'identité est vraie pour n = 0. Supposons-la vérifiée au rang n. Alors, il suffit d'écrire :

$S_{n+1}=S_{n}+aq^{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}=a{\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

ce qui montre l'assertion au rang $n+1$.

Preuve directe

Pour $n\in \mathbb {N}$ fixé, on multiplie $S_{n}$ par $q$, puis on soustrait le résultat obtenu à $S_{n}$ :

${\begin{array}{ccccccccccccccc}S_{n}&=&a&+&aq&+&aq^{2}&+&\ldots &+&aq^{n-2}&+&aq^{n-1}&&\\qS_{n}&=&&&aq&+&aq^{2}&+&\ldots &+&aq^{n-2}&+&aq^{n-1}&+&aq^{n}\\\hline S_{n}-qS_{n}&=&a&&&&&&&&&&&-&aq^{n}.\end{array}}$

On obtient donc

$\left(1-q\right)S_{n}=a\left(1-q^{n}\right)$.

Une variante de rédaction de la preuve de cette formule est d'écrire

$S_{n}=a+aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1},$

puis de multiplier « de chaque côté » de l'égalité par $1-q$ :

${\begin{aligned}(1-q)S_{n}&=(1-q)(a+aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1})\\&=a+aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}\\&{\color {White}{}=a}-aq-aq^{2}-\cdots -aq^{n-1}-aq^{n}\\&=a-aq^{n}\\&=a(1-q^{n})\end{aligned}}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement, on trouve :

$S_{n}=a{\cfrac {1-q^{n}}{1-q}}.$

Preuve utilisant des règles de proportionnalité

C'est la démarche employée par Euclide dans son Livre IX des Éléments, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers positifs. Il utilise une propriété qu'il a également démontrée : quand plusieurs fractions sont égales, elles sont aussi égales à la fraction obtenue en faisant la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs.

Or, dans une suite géométrique, il y a égalité des rapports entre deux termes consécutifs mais aussi égalité du rapport entre la différence de deux termes consécutifs et le premier d'entre eux. En langage mathématique, cela donne

${\frac {u_{0}-u_{1}}{u_{0}}}={\frac {u_{1}-u_{2}}{u_{1}}}={\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{2}}}=\cdots ={\frac {u_{n-1}-u_{n}}{u_{n-1}}}=1-q$

Puis, en sommant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$1-q={\frac {u_{0}-u_{1}+u_{1}-u_{2}+u_{2}-u_{3}+\cdots +u_{n-1}-u_{n}}{u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n-1}}}={\frac {u_{0}-u_{n}}{S_{n}}}$

Une telle démonstration reste valable tant que les termes de la suite sont non nuls et la somme est non nulle.

Convergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, c'est-à-dire où la suite $(S_{n})$ est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas $a=0$ qui est sans intérêt) :

• Si $|q|<1$, alors $q^{n}$ tend vers 0, donc la suite $(S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}})$ est convergente, de limite${\cfrac {a}{1-q}}.$Ce calcul permet de résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.
• Si $|q|=1$, on a deux cas. Si q = 1, alors $S_{n}=an$ et si q = –1, alors $S_{n}=0$ pour n pair et $S_{n}=a$ pour n impair. La suite diverge dans les deux cas.
• Si $|q|>1$, la suite $(q^{n})$ diverge et a fortiori $(S_{n})$ diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose donc du résultat général suivant :

La série géométrique réelle de terme initial $a\in \mathbb {R}$ non nul et de raison $q\in \mathbb {R}$ est convergente si et seulement si $|q|<1$. Dans ce cas, sa somme vaut :

$\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}={\frac {a}{1-q}}.$

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme $a\in \mathbb {C}$ et de raison $q\in \mathbb {C}$ est la série de terme général $aq^{n}$.

La condition nécessaire et suffisante de convergence est que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Leur rayon de convergence est 1, et le point 1 est une singularité (et plus précisément, un pôle).

Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si $(A,\|.\|)$ désigne une algèbre de Banach, la série géométrie de raison $u\in A$ est la série de terme général $u^{n}$. Lorsque $\|u\|<1$, la sous-multiplicativité donne :

$\|u^{n}\|\leq \|u\|^{n}.$

Comme la série géométrique réelle de raison $\|u\|$ est convergente, la série géométrique de raison $u$ est absolument convergente. Notons $S$ sa somme. Alors on a :

$(1-u)S=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}-\sum _{n=1}^{\infty }u^{n}=1$

donc $S$ est l'inverse de $1-u$. C'est un résultat fondamental. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

• l'ensemble des éléments inversibles de $A$ est un ouvert ;
• pour un élément $x\in A$, son spectre — l'ensemble des complexes $\lambda$ tels que $\lambda -x$ ne soit pas inversible — est une partie fermée non vide et bornée de ℂ ;
• sur son domaine de définition, l'application $\lambda \mapsto (\lambda -x)^{-1}$ est développable en série entière.

Bibliographie

• Éric J.-M. Delhez, Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
• Mohammed El Amrani, Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, Paris, Ellipses, 2011, 456 p. (ISBN 978-2-729-87039-3)
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]