Système masse-ressort

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Un système masse-ressort est un système mécanique à un degré de liberté. Il est constitué par une masse accrochée à un ressort contrainte de se déplacer dans une seule direction. Son mouvement est dû à trois forces :

  • une force de rappel F_{R},
  • une force d'amortissement F_{A},
  • une force extérieure F_{E}.

Le système masse-ressort est un sujet d'étude simple dans le cadre des oscillateurs harmoniques.

Oscillations rectilignes d'une masse soumise à l'action d'un ressort[modifier | modifier le code]

Mouvement horizontal
Oscillation verticale

On peut mettre en oscillation une masse soumise à l'action d'un ressort. Ces oscillations peuvent être, suivant les cas, des oscillations verticales ou des oscillations horizontales (en utilisant un dispositif permettant de minimiser les frottements sur le support).

Dans les deux cas, les oscillations sont harmoniques : la fonction temporelle x(t) de la position de la masse de part et d'autre de la position d'équilibre (statique) est une fonction sinusoïdale. Dans le cas de l'oscillateur vertical, l'effet de la pesanteur n'introduit qu'une translation de la position d'équilibre statique. La relation déduite de l'application du théorème du centre d'inertie peut s'écrire :

\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+\omega_0^2 x = 0, avec \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

\omega_0 est appelée pulsation propre de l'oscillateur harmonique. k et m sont respectivement la raideur du ressort et la masse suspendue. Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme x = x_0 \sin(\omega_0 t + \varphi), ce qui est caractéristique d'un oscillateur harmonique.

La période est indépendante de l’amplitude (isochronisme des oscillations) : elle ne dépend que de l'inertie du système (masse m) et de la caractéristique de la force de rappel (constante de raideur k du ressort) :

 T = 2\pi\cdot\sqrt\frac{m}{k}

Remarque : cet oscillateur est soumis à la conservation de l'énergie mécanique : celle-ci est de la forme

 \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E_0

En dérivant membre à membre l'équation par rapport au temps on retrouve l'équation différentielle précédente.

Amélioration[modifier | modifier le code]

Ce qui précède est valable si la masse du ressort est négligeable par rapport à celle de la masse qui oscille. L'expérience montre que la période est plus proche de :

 T = 2\pi\cdot\sqrt\frac{m + \mu/3}{k}

  •  {\mu/3} = le tiers de la masse du ressort ;
  •  {m} = la masse suspendue au ressort ;
  •  {k} = la constante élastique ou raideur du ressort.

Autre amélioration[modifier | modifier le code]

Ceci est de nouveau une approximation. Une étude complète se trouve dans les liens externes. On montre que la période d'oscillation réelle s'approche de :

 T = \frac{2\pi}{\Omega} \cdot \sqrt \frac{\mu}{k}

  \Omega  est défini par la relation :

  \Omega \cdot \tan ( \Omega ) = \frac{\mu}{m}
  •  {\mu} = la masse du ressort ;
  •  {m} = la masse suspendue au ressort ;
  •  {k} = la constante élastique ou raideur du ressort.

Une manière de calculer \Omega est d'itérer :

\Omega = \arctan \left(\frac{\mu}{m \cdot \Omega}\right)

en commençant par : \Omega = \sqrt \frac{\mu}{m + \mu / 3}

Frottements[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Le système masse-ressort est utilisé en génie mécanique pour étudier le comportement de mécanismes.

En effet, en première intention, la dynamique du solide considère des solides indéformables ; cela permet de connaître les lois de mouvement (position, vitesse, accélération, à-coup en fonction du temps) et les efforts (forces, couples) mis en œuvre. Cependant, dans de nombreux cas, il faut aussi prendre en compte la déformation des pièces, par exemple pour les problèmes de vibration (bruit, usure, fatigue, desserrage) et de déphasage (retard entre la l'ordre de mouvement et l'exécution du mouvement en raison de la souplesse des pièces).

La puissance informatique disponible permet parfois de mener une telle étude par la méthode des éléments finis. Cependant, il est intéressant d'avoir un modèle intermédiaire, dans lequel chaque pièce est modélisée par un système masse-ressort. En effet, la méthode des éléments finis nécessite de définir la géométrie et l'emplacement des pièces, c'est-à-dire de travailler sur un système dont on a déterminé l'architecture. Or, dans une phase de développement, on peut justement vouloir essayer plusieurs architectures ; c'est là qu'un modèle masse-ressort est intéressant.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]