Système de coordonnées bipolaires

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Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Définition[modifier | modifier le code]

Au point de coordonnées bipolaires (\tau, \sigma) correspond le point


x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}

y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}.

Géométriquement la coordonnée \sigma d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (-a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (-a, 0), le point P et le foyer (a, 0). La coordonnée \tau est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (-a, 0).

Notation complexe[modifier | modifier le code]

On a


  x + i y = a \coth \frac{\tau - i \sigma}{2}.


Transformation inverse[modifier | modifier le code]

Pour déterminer (\tau, \sigma) à partir de (x, y), on a


  \tau = \frac{1}{2} \ln \frac{(x + a)^2 + y^2}{(x - a)^2 + y^2}

et


  \pi - \sigma = 2 \arctan \frac{2ay}{a^2 - x^2 - y^2 + \sqrt{(a^2 - x^2 - y^2)^2 + 4 a^2 y^2} }.

On remarque aussi que


  \tanh \tau = \frac{2 a x}{x^2 + y^2 + a^2}

et que


  \tan \sigma = \frac{2 a y}{x^2 + y^2 - a^2}.