Symplectomorphisme

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En géométrie symplectique, un symplectomorphisme est un isomorphisme de variétés symplectiques.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient (M,\omega) et (N,\eta) deux variétés symplectiques.

Une application différentiable f:(M,\omega)\rightarrow (N,\eta) est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout x\in M, la différentielle df(x):T_xM\rightarrow T_xM est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit :

 f^*\eta=\omega

Comme \omega est non dégénérée, les différentielles df(x) sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale, f est un difféomorphisme local. Lorsque f est de plus un difféomorphisme (global),  f est appelé un symplectomorphisme.

Exemples[modifier | modifier le code]

Remarque : si \pi : P\rightarrow M est un revêtement et \omega une forme symplectique sur M, il existe une unique forme symplectique \eta sur P telle que \pi soit un morphisme symplectique.

Groupe des symplectomorphismes[modifier | modifier le code]

Le groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique (M,\omega), noté Symp(M,\omega), dénote l'ensemble des symplectomorphismes ou difféomorphismes symplectiques de (M,\omega), muni de la loi de composition.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe des symplectomorphismes n'est pas un sous-groupe normal du groupe Diff(M) des difféomorphismes de M.

Si f est un difféomorphisme de la variété M, la conjugaison par f envoie bijectivement les symplectomorphismes de (M,\omega) sur ceux de (M,f^*\omega) :

f.Symp(M,\omega).f^{-1}=Symp(M,f^*\omega)

En particulier, la conjugaison par un difféomorphisme f préserve le sous-groupe Symp(M,\omega) si et seulement si f est un symplectomorphisme.

Topologie[modifier | modifier le code]

Dans le groupe Diff(M,\omega) des difféomorphismes muni de la topologie C^\infty, le sous-groupe des symplectomorphismes est fermé. Accessoirement, le groupe des difféomorphismes peut en toute légitimité être vu comme un groupe de Lie de dimension infinie. Plus précisément, l'espace tangent en l'application identité est l'espace de Fréchet X(M) des champs de vecteurs de classe C^\infty sur M.

Le groupe des symplectomorphismes est un sous-groupe fermé pour la topologie C^0 du groupe des homéomorphismes de la variété M. Une preuve repose sur l'utilisation des capacités symplectiques.

Article connexe[modifier | modifier le code]