Symbole de Steinberg

En mathématiques, un symbole de Steinberg^[1]^,^[2] est une fonction de deux variables qui généralise le symbole de Hilbert et joue un rôle en K-théorie algébrique des corps.

Définition[modifier | modifier le code]

Un symbole de Steinberg (ou simplement : un symbole) sur un corps F est une application (–, –) de F* × F* dans un groupe abélien G, noté multiplicativement, telle que pour tous a, b, c dans F*,

(bimultiplicativité) (ab, c) = (a, c)(b, c) et (a, bc) = (a, b)(a, c)
si a + b = 1, alors (a, b) = 1.

Autrement dit : (–, –) est la composée d'un morphisme à valeurs dans G par le symbole universel, de F* × F* dans le groupe abélien F* ⊗ F* / 〈 a ⊗ (1 – a) | a ≠ 0, 1 〉. D'après un théorème de Matsumoto, ce groupe coïncide avec le deuxième groupe de K-théorie de Milnor, K₂^M(F).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si (–, –) est un symbole, alors les équations suivantes sont vérifiées (pour tous les éléments pour lesquels elles ont un sens) :

(a, –a) = 1,
(b, a) = (a, b)⁻¹,
(a, a) = (a, –1) est un élément d'ordre 1 ou 2,
(a, b) = (a + b, –b/a).

Exemples[modifier | modifier le code]

Le symbole de Hilbert sur F, à valeurs dans {±1}, est défini par^[3] $(a,b)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ a une solution non nulle }}(x,y,z)\in F^{3},\\-1&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}$
Le symbole de Contou-Carrère (en)^[4] est un symbole pour l'anneau des séries formelles de Laurent sur un anneau artinien.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Steinberg symbol » (voir la liste des auteurs).

↑ Robert Steinberg, « Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques », dans Colloq. Théorie des Groupes Algébriques, Gauthier-Villars, 1962 (lire en ligne), p. 113-127
↑ (en) Robert Steinberg, « Steinberg symbol », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
↑ Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
↑ Carlos Contou-Carrère, « Jacobienne locale, groupe de bivecteurs de Witt universel, et symbole modéré », CRAS, 1^re série, vol. 318, n^o 8,‎ 1994, p. 743-746 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) P. E. Conner (en) et R. Perlis, A Survey of Trace Forms of Algebraic Number Fields, World Scientific, coll. « Series in Pure Mathematics » (n^o 2), 1984 (ISBN 9971-966-05-0)
(en) Tsit Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « GSM » (n^o 67), 2005 (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 132-142

Article connexe[modifier | modifier le code]

Groupe de Steinberg (K-théorie)

Portail des mathématiques

[1] Robert Steinberg, « Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques », dans Colloq. Théorie des Groupes Algébriques, Gauthier-Villars, 1962 (lire en ligne), p. 113-127

[2] (en) Robert Steinberg, « Steinberg symbol », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

[3] Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]

[4] Carlos Contou-Carrère, « Jacobienne locale, groupe de bivecteurs de Witt universel, et symbole modéré », CRAS, 1^re série, vol. 318, n^o 8,‎ 1994, p. 743-746 (lire en ligne)

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