Surface romaine

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Une animation de la surface romaine

La surface romaine (ainsi appelée parce que Jakob Steiner était à Rome quand il la conçut) est une application auto-intersectante du plan projectif réel dans l'espace à trois dimensions, avec un haut degré de symétrie. Cette application est localement un plongement topologique, mais n'est pas une immersion (au sens différentiel) du plan projectif ; cependant elle en devient une lorsqu'on enlève de l'image six points singuliers[1].

La construction la plus simple est obtenue par l'image d'une sphère centrée à l'origine sous la carte : f(x,y,z) = (yz,xz,xy). Cela fournit une formule implicite de

 x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 - r^2 x y z = 0.

De même, prenant une paramétrisation de la sphère en termes de longitude (θ) et latitude (φ), on obtient les équations paramétriques de la surface Romaine comme suit :

x = r2 cos θ cos φ sin φ
y = r2 sin θ cos φ sin φ
z = r2 cos θ sin θ cos2 φ

L'origine est un point triple et chacun des plans xy, yz, et xz est tangent à la surface. Les autres points d'auto-intersection sont des points doubles, définissant le long des trois axes des segments dont les extrémités sont des points cuspidaux (en) [réf. souhaitée]. Cette surface possède la symétrie du tétraèdre. C'est un type particulier (le type 1) de surface de Steiner, qui est une projection linéaire à 3 dimensions d'une surface de Véronèse à 5 dimensions, qui est la représentation naturelle d'un espace projectif à 5 dimensions.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Roman surface » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Jeffrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, AMS,‎ 2009 (lire en ligne), p. 141.