Surface de Hirzebruch

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Les surfaces de Hirzebruch, ou surfaces rationnelles géométriquement réglées, sont des surfaces algébriques complexes. Elles forment une famille \Sigma_n, paramétrée par un entier n ≥ 0.

Avec le plan projectif, les surfaces \Sigma_0 et \Sigma_r pour r > 1 sont les seules surfaces minimales rationnelles.

Classification, théorème de Hirzebruch[modifier | modifier le code]

Une surface rationnelle géométriquement réglée est une surface rationnelle (en) X munie d'un morphisme \pi: X \to \mathbb CP^1 qui est une fibration algébrique ou holomorphe de fibre \mathbb CP^1. Une telle surface s'identifie à \Sigma_0 = \mathbb CP^1 \times \mathbb CP^1, ou possède une unique section d'auto-intersection négative -n. Cette section est dite exceptionnelle et notée s. Ces surfaces possèdent également une section nulle s0.

Friedrich Hirzebruch a montré que deux surfaces rationnelles géométriquement réglées \Sigma_n et \Sigma_m sont difféomorphes (en tant que surfaces complexes) si et seulement si m = n. En tant que surfaces réelles, elles sont difféomorphes si et seulement si m et n ont même parité.

Transformations de Nagata élémentaires[modifier | modifier le code]

Les surfaces rationnelles géométriquement réglées s'obtiennent les unes des autres par les transformations de Nagata élémentaires positives (\Sigma_n \to \Sigma_{n+1}) et négatives (\Sigma_n \to \Sigma_{n-1}), partant de \Sigma_0 = \mathbb CP^1 \times \mathbb CP^1.

La transformation de Nagata négative consiste en un éclatement (blow-up) en un point d'une fibre de la projection (n'appartenant pas à la section exceptionnelle), puis en la contraction (en) (blow-down) le long de l'adhérence de la fibre privée de ce point. Le diviseur exceptionnel de l'éclatement prend alors le rôle de la fibre au-dessus de ce point. La transformation de Nagata positive consiste en un éclatement d'un point de la section exceptionnelle s et en une contraction de la fibre correspondante.

On obtient dans tous les cas une surface rationnelle par le critère de Castelnuovo.

Homologie, forme d'intersection, diamant de Hodge[modifier | modifier le code]

L'homologie des surfaces rationnelles géométriquement réglées est connue :


H_j(\Sigma_n) = \begin{cases}
\mathbb Z & j = 0, 4\\
\mathbb Z^2 & j = 2 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}

En particulier, l'homologie H2 est engendrée par les représentants de la section exceptionnelle et d'une fibre choisie au-dessus d'un point x \in \mathbb CP^1 :

H_2(\Sigma_n) \simeq \mathbb Z[s_\infty] \oplus \mathbb Z[\pi^{-1}(x)]

Dans cette base la forme d'intersection (en) (qui découle de la dualité de Poincaré) a pour matrice de Gram :

B = \begin{pmatrix} -n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Mais en réalité, avec un choix de base adaptée, la forme d'intersection ne dépend pas de n.

Le diamant de Hodge associé aux surfaces rationnelles géométriquement réglées est :


\begin{matrix}
  &   & 1 &   &   \\
  & 0 &   & 0 &   \\
0 &   & 2 &   & 0 \\
  & 0 &   & 0 &   \\
  &   & 1 &   &
\end{matrix}

Étude des courbes trigonales[modifier | modifier le code]

Les surfaces rationnelles géométriquement réglées se prêtent à l'étude des courbes trigonales (en), c'est-à-dire les courbes X telles que le degré minimal d'une application rationnelle X \to \mathbb CP^1 est 3. Ces courbes incluent en particulier les courbes elliptiques.

Référence[modifier | modifier le code]

(de) Friedrich Hirzebruch, « Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten », Mathematische Annalen, vol. 124,‎ 1951, p. 77-86 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01343552)