Surface de Bézier

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Les surfaces de Bézier sont une méthode de définition d'une surface grâce aux courbes de Bézier, avantageuses pour définir une courbe par la donnée de points de contrôle.

Définition

Étant donnée une matrice [M] de points de l'espace $A_{i,j}$, la surface de Bézier correspondante est l'ensemble des points M généré par les valeurs comprises entre 0 et 1 des variables u et v du polynôme :

$\overrightarrow {O M} = \sum_{i=o}^n \sum_{j=o}^m C_n^i v^i (1-v)^{(n-i)} C_m^j u^j (1-u)^{(m-j)} \overrightarrow {O A_{i j}}$

Propriétés

Les points ainsi définis sont évidemment indépendants du choix du point O.
Le cas particulier n = 1 (ou m=1) correspond aux surfaces réglées. Si m = n = 1, on obtient une surface deux fois réglée, qui est soit un plan si les quatre points sont coplanaires, soit un paraboloïde hyperbolique. En considérant sur une telle surface les intersections de deux paires de règles voisines, on se rend compte que la donnée de quatre points ne fait pas que définir la nature de la surface, mais sert aussi à en arrêter les frontières. Dans le cas général, les courbes de Bézier correspondant aux sous-ensembles de points $A_{0,j}$, $A_{n,j}$, $A_{i,0}$, et $A_{i,m}$ définissent les frontières de la surface.

Voir aussi

Articles connexes

• Courbe de Bézier

Références

• « Systèmes De Cfao », « Études en Cfao Cao Mécanique », « Éléments de Cao Volume 1 Matériels et Logiciels de Base », « Cao Mécanique », « Systèmes de C.F.A.O. : Conception et Fabrication Assistées par Ordinateur : - Introduction dans l'entreprise, Méthode de Réalisation », « La Cfao - Introduction, Techniques et Mises en Œuvre, 3ème Édition revue et corrigée », « La Cfao », de Yvon Gardan, Livres, édition Hermes, (modèles CSG, B-REP, modeleur paramétrique ou variationnel, etc.)