Surface de Bézier

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Les surfaces de Bézier sont une méthode de définition d'une surface grâce aux courbes de Bézier, avantageuses pour définir une courbe par la donnée de points de contrôle.

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donnée une matrice [M] de points de l'espace A_{i,j}, la surface de Bézier correspondante est l'ensemble des points M généré par les valeurs comprises entre 0 et 1 des variables u et v du polynôme :

\overrightarrow {O M} = 	\sum_{i=o}^n 	\sum_{j=o}^m C_n^i v^i (1-v)^{(n-i)} C_m^j u^j (1-u)^{(m-j)} \overrightarrow {O A_{i j}}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les points ainsi définis sont évidemment indépendants du choix du point O.
Le cas particulier n = 1 (ou m = 1) correspond aux surfaces réglées. Si m = n = 1, on obtient une surface deux fois réglée, qui est soit un plan si les quatre points sont coplanaires, soit un paraboloïde hyperbolique. En considérant sur une telle surface les intersections de deux paires de règles voisines, on se rend compte que la donnée de quatre points ne fait pas que définir la nature de la surface, mais sert aussi à en arrêter les frontières. Dans le cas général, les courbes de Bézier correspondant aux sous-ensembles de points A_{0,j}, A_{n,j}, A_{i,0}, et A_{i,m} définissent les frontières de la surface.

Référence[modifier | modifier le code]

Pierre Bézier, Courbes et Surfaces, Hermes, 1996