Suite régularisante

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Visualisation de l'effet d'une fonction régularisante dans un cas réel. En bas, on voit qu'une fonction présentant un coin et une discontinuité (en rouge), devient lisse par effet de la régularisation (en bleu).

En mathématiques, une suite régularisante est une suite de fonctions régulières utilisées afin de donner une approximation lisse de fonctions généralisées, le plus souvent par convolution afin de lisser les discontinuités.

Définition[modifier | modifier le code]

Une suite régularisante est une suite de fonctions (\varphi_k)_{k \in {\N}} de \R^n telle que, \forall k \in\N :

  • \varphi_k est de classe C^{\infty}
  • \int_{\R^n} \varphi_k(x)\, \mathrm dx=1
  • {\rm supp}(\varphi_k) \subset B(0,r_k)

avec \lim_{k \to +\infty} r_k=0 : les fonctions sont donc de plus en plus resserrées autour de l'origine.

La dernière propriété peut être remplacée par la propriété (équivalente) :

  • \lim_{k \to +\infty} \varphi_k = \delta(x)

\delta(x) est la fonction de Dirac.

On peut ajouter différentes propriétés aux fonctions[1] :

  • si \varphi_k (x) \geq 0 pour tout x \in \R^n, la suite est régularisante positive ;

On peut ajouter différentes propriétés aux fonctions[2] :

Exemple[modifier | modifier le code]

La fonction \varphi(x) dans le cas réel.

Considérons la fonction \varphi(x) sur ℝn définie par

\varphi(x) = \begin{cases} \exp\left(-\tfrac{1}{1-|x|^2}\right)& \text{ si } |x| < 1\\
                 0& \text{ si } |x|\geq 1
                 \end{cases}

On peut montrer que cette fonction est de classe C^{\infty} sur ℝn telles que ses dérivées soient nulles pour |x| = 1. Ainsi, en normant cette fonction en la divisant par la valeur de son intégrale, la fonction \varphi devient d'intégrale 1 et vérifie les propriétés d'une fonction régularisante, étant de plus positive et symétrique[3].

Une suite régularisante peut alors être construite en posant :

\varphi_k(x) = k^n \varphi(kx).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les suites régularisantes sont principalement utilisées en théorie des distributions, afin de passer d'un problème sur des fonctions généralisées à une restriction aux fonctions régulières, plus simples à manier[3].

Soit T une distribution et \{\varphi_k\}_{k \in \N} une suite régularisante. Alors :

  • la suite de convolutions T_k = T * \varphi_k est une suite de fonctions régulières.
  • cette suite converge vers T
\lim_{k \rightarrow \infty} T_k = T \in D' (\R^n)
  • le support de ces fonctions vérifie :
\operatorname{supp} T_k = \operatorname{supp} (T * \varphi_k) \subset \operatorname{supp} T + \operatorname{supp} \varphi_k

où ici, le signe + désigne la somme de Minkowski.

Applications[modifier | modifier le code]

Les suites régularisantes sont utilisées pour démontrer la densité des fonctions continues dans des espaces fonctionnels plus généraux, comme les espaces Lp ou de Sobolev[4].

Elles sont également utilisées pour montrer l'équivalence des formulations faibles et fortes d'équations différentielles au sens des distributions.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir (Giusti 1984, p. 11).
  2. Voir (Giusti 1984, p. 11).
  3. a et b (Hörmander 1990, p. 14)
  4. Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Approximation de l'unité