Suite de Padovan

Construction d'une suite de Padovan à l'aide de triangles équilatéraux

La suite de Padovan est une suite d'entiers définie par récurrence par

$\mathcal{P}_{n+3}=\mathcal{P}_{n+1}+\mathcal{P}_{n}\,$, pour tout entier n

C'est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à la suite de Fibonacci, à une nuance près : la somme des termes de rang n et n+1 ne donne pas le terme de rang n + 2 mais celui de rang n + 3

La suite porte le nom de l'architecte Richard Padovan (en) et est associée au nombre plastique étudié par l'architecte puis moine Hans van der Laan. Le mathématicien Ian Stewart, dans ses Mathematical Recreations, évoque et étudie cette suite et lui attribue le nom de suite de Padovan.

Le terme général de la suite de Padovan est lié au trois racines du polynôme de degré trois $x^3 - x - 1$. Ce polynôme possède une racine réelle $r_1$ et deux racines complexes conjugués $r_2$ et $r_3$

Cette suite d'entiers est toujours strictement croissante à partir du rang trois et le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre plastique.

Termes et propriétés

P(0) = P(1) = P(2) = 1

Lorsque les trois valeurs initiales sont

$\mathcal P(0) = \mathcal P(1) = \mathcal P(2) = 1$

la suite des premiers termes est :

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 , 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...

Sa fonction génératrice est alors :

$F(X)=\frac{1+X}{1-X^2-X^3}$

Lorsque les trois premiers termes sont 1, 1 et 1, on a : $\mathcal P(n) = \frac{(1-r_2)(1-r_3)}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}r_1^n + \frac{(1-r_3)(1-r_1)}{(r_2-r_3)(r_2-r_1)}r_2^n + \frac{(1-r_1)(1-r_2)}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}r_3^n$ Les formules de Cardan donnent pour la racine réelle :

$r_1=\frac{\left(9-\sqrt{69}\right)^{1/3}+\left(9+\sqrt{69}\right)^{1/3}}{18^{1/3}}\approx 1,32472$

Ce nombre s'appelle nombre plastique ou nombre d'argent.

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2

En prenant $\mathcal P(0) = 3, \mathcal P(1) = 0$ et $\mathcal P(2) = 2$, on a les propriétés suivantes :

• Si n est un nombre premier, p(n) est un multiple de n.
• Il semble que (non démontré) pour la grande majorité des entiers n, si p(n) est un multiple de n, alors n est un nombre premier. Il n'y a que 3 exception pour n <1 000 000, dont la valeur n=1.

Article détaillé : Nombre de Perrin.

Voir aussi

Articles connexes

• Liste de nombres premiers

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Padovan sequence », MathWorld