Subdivision d'un intervalle

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En mathématiques, une subdivision d'un intervalle [a, b] de la droite réelle est une suite finie de la forme

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

De telles subdivisions sont utilisées dans les théories de l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Stieltjes et l'intégrale d'une fonction réglée.

Vocabulaire[modifier | modifier le code]

  • Une telle subdivision est dite adaptée à une fonction en escalier f sur [a, b] si f est constante sur chaque sous-intervalle ]xi – 1, xi[, pour i = 1, … , n.
  • Un raffinement d'une subdivision P est une subdivision Q du même intervalle, formée en rajoutant des points. On dit alors que Q est plus fine que P. On définit ainsi un ordre partiel sur les subdivisions d'un intervalle.
  • Le raffinement commun de deux subdivisions est la subdivision formée en prenant la réunion des deux ensembles de points et en les renumérotant par ordre croissant.
  • Un marquage d'une subdivision x0 < x1 < x2 < ... < xn est la donnée supplémentaire d'un point dans chaque sous-intervalle, c'est-à-dire de points ti ∈ [xi – 1, xi], pour i = 1, … , n. À toute fonction f sur un intervalle et toute subdivision marquée de cet intervalle est associée une somme de Riemann.
  • De même que pour les subdivisions, on définit un ordre partiel naturel sur les subdivisions marquées.
  • Le pas d'une subdivision x0 < x1 < x2 < ... < xn est la plus grande des longueurs des sous-intervalles, c'est-à-dire : max{ |xixi – 1| : i = 1, … , n }. L'intégrale de Riemann de f est (si elle existe) la limite des sommes de Riemann quand le pas tend vers 0.

Références[modifier | modifier le code]