Structure presque complexe

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En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, id est une section globale du fibré vectoriel End(TM), vérifiant :

 \forall x\in M,J_x^2=-Id

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle-seule ne suffit pas :

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de GL(2n,R) à GL(n,C).

Exemples[modifier | modifier le code]

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

  • La sphère S^2, vue comme le compactifié de ℂ.
  • La sphère S^6, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

Formes différentielles[modifier | modifier le code]

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire A\in GL(n,R) vérifiant l'identité A^2=-Id se réduit sur C^n=R^n\otimes C. Il admet deux espaces propres, E^+ et E^-, de valeurs propres respectives i et -i.

Structures presque complexes :


TM\otimes C=T^+M\oplus T^-M

Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.


\Omega^r(M)\otimes C=\bigoplus_{r+q=p} \Omega^{r,q}(M)

Voir aussi[modifier | modifier le code]