Spline cubique d'Hermite

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On appelle spline cubique d'Hermite une spline de degré 3, nommée ainsi en hommage à Charles Hermite, et dont chaque polynôme $P_i(x)$ se trouve sous la forme suivante:

Les quatre polynômes de base

$P_i \in Vect\{h_{00}, h_{10}, h_{01}, h_{11}\}\,$

avec

$h_{00}(t) = 2t^3-3t^2+1 \,\!$

$h_{10}(t) = t^3-2t^2+t \,\!$

$h_{01}(t) = -2t^3+3t^2 \,\!$

$h_{11}(t) = t^3-t^2 \,\!$

ce qui donne le polynôme suivant :

$\mathbf{p}(t) = h_{00}(t)\mathbf{p}_0 + h_{10}(t)\mathbf{m}_0 + h_{01}(t)\mathbf{p}_1 + h_{11}(t)\mathbf{m}_1.$

Sous cette écriture, il est possible de voir que le polynôme p vérifie:

$p(0)=\mathbf{p}_0 \,\!$

$p(1)=\mathbf{p}_1 \,\!$

$p'(0)=\mathbf{m}_0 \,\!$

$p'(1)=\mathbf{m}_1 \,\!$

Les splines cubiques d'Hermite sont donc une manière commode de construire un polynôme de degré le plus bas possible interpolant une fonction en 2 points avec ses tangentes^{[réf. nécessaire]}.

La courbe est contrôlée par la position des points et des tangentes. La courbe passe par tous les points.

Conséquence : pour trouver le polynôme tel que : $P(x_0)=p_0 \;,\; P(x_1)=p_1 \;,\; P'(x_0)=m_0 \;,\; P'(x_1)=m_1$

il faut poser : $\mathbf{p}(t) = h_{00}(t)\mathbf{p}_0 + h_{10}(t)\mathbf{m}_0 . (x_1-x_0) + h_{01}(t)\mathbf{p}_1 + h_{11}(t)\mathbf{m}_1 .(x_1-x_0).\!$

et

$\mathbf{P}(t)=\mathbf{p}(\frac{t-x_0}{x_1-x_0})$

alors :

$\mathbf{P}(x_0)=\mathbf{p}(\frac{x_0-x_0}{x_1-x_0})=\mathbf{p}(0)=p_0$

$\mathbf{P}(x_1)=\mathbf{p}(\frac{x_1-x_0}{x_1-x_0})=\mathbf{p}(1)=p_1$

et  :$\mathbf{P}'(x)=\mathbf{p}'(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}).\frac{1}{x_1-x_0}$

d'où : $\mathbf{P}'(x_0)=\mathbf{p}'(\frac{x_0-x_0}{x_1-x_0}).\frac{1}{x_1-x_0}=\mathbf{p}'(0).\frac{1}{x_1-x_0}=m_0.(x_1-x_0) .\frac{1}{x_1-x_0}=m_0$

$\mathbf{P}'(x_1)=\mathbf{p}'(\frac{x_1-x_0}{x_1-x_0}).\frac{1}{x_1-x_0}=\mathbf{p}'(1).\frac{1}{x_1-x_0}=m_1.(x_1-x_0) .\frac{1}{x_1-x_0}=m_1$