Sphère

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Une sphère dans un espace euclidien

Usage de la sphère en architecture : calotte demi-sphérique côtelée d'un dôme de la Grande Mosquée de Kairouan (en Tunisie).

En géométrie dans l'espace, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance au centre est appelée le rayon de la sphère. La géométrie sphérique est la science qui étudie les propriétés des sphères. La Terre peut, en première approximation, être modélisée par une sphère dont le rayon est environ 6 371 km.

Plus généralement en mathématiques, dans un espace métrique, une sphère est l'ensemble des points situés à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente de la forme ronde usuelle.

Les points dont la distance au centre est inférieure au rayon constituent une boule.

Sphère euclidienne de dimension 2

Représentation

En géométrie cartésienne, une sphère de centre $(x_0, y_0, z_0)$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $(x, y, z)$ tels que :

$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2$.

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

$\left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\ z & = & r \sin\theta \end{matrix} \right. \qquad\left(\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi\right)$

On peut voir $\displaystyle \theta$ comme la latitude et $\displaystyle \phi$ comme la longitude. (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)

Formules

L'aire d'une sphère de rayon $r$ est :

$A=4\pi r^2~$.

Le volume de la boule qu'elle renferme est :

$V=\frac{4\pi r^{3}}3$.

Sa compacité, c'est-à-dire le rapport entre son volume et sa surface est de

$C=\frac VA=\frac r3$.

Le moment d'inertie d'une boule homogène de rayon $r$, de masse volumique $\rho$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

$I=\frac{2M r^2}{5}=\frac{8 \pi \rho r^5}{15}$.

Le moment d'inertie d'une sphère homogène de rayon $r$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

$I=\frac{2Mr^2}{3}=\frac{8 \pi \rho r^5}9$.

L'élément d'aire de la sphère de rayon $r$ dans les coordonnées latitude-longitude est $\mathrm d\sigma=r^2\cos\theta\mathrm d\theta d\phi$. On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle $\alpha$ exprimé en radians) est $2\alpha r^2$.

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance $h\,$ l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve $2\pi rh$ : l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre. Selon Cicéron, Archimède aurait demandé que soient gravés sur son tombeau, en mémoire de ce résultat, une sphère et son cylindre circonscrit.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à ³⁄₂ fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien de dimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.

Développement

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins il est possible, en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de volley-ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

Sphères euclidiennes de dimensions supérieures

Article détaillé : n-sphère.

On peut généraliser le concept de sphère à un espace de dimension entière quelconque. Pour tout entier naturel n, une n-sphère de rayon r est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (n+1) dimensions qui sont à distance fixée r d'un point de cet espace (r est un réel strictement positif). Par exemple :

• une 0-sphère est la paire des points extrémités de l'intervalle [−r, r] de la ligne réelle ;
• une 1-sphère est un cercle de rayon r ;
• une 2-sphère est une sphère ordinaire.

Les sphères de dimension n > 2 sont parfois appelées hypersphères. La n-sphère de rayon 1 est notée Sⁿ.

Article détaillé : calcul du volume de l'hypersphère.

L'aire d'une (n−1)-sphère de rayon r est

$2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}r^{n-1}=\begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} , & \text{si } n \text{ est pair ;} \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{si } n \text{ est impair}, \end{cases}$

où Γ est la fonction Gamma d'Euler

et le volume d'une n-boule de rayon r est égal au produit de cette aire par ${r\over n}$, donc à

$\begin{cases} \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} , & \text{si } n \text{ est pair ;} \\ \\ \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases}$.

Géométrie des sphères dans les espaces euclidiens

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La sphère comme espace topologique

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Topologie des sphères

Selon le contexte, en particulier en topologie, le mot sphère (ou n-sphère si on veut rappeler la dimension) peut être utilisé pour désigner n'importe quel espace topologique homéomorphe à une n-sphère au sens défini dans la section précédente.

La caractéristique d'Euler d'une n-sphère vaut 2 si n est pair, et 0 si n est impair.

Notes et références

Références

• (en) David Hilbert et Stephan Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination [détail des éditions]
• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] Nathan, 1990, chap. 18

Voir aussi

Articles connexes

• Géode
• Géométrie sphérique
• Orthodromie

Liens externes

• A. Javary, Traité de géométrie descriptive, 1881, (sur Gallica) : Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré
• Le chemin le plus court sur la sphère, par Matthieu Aubry
• Mathématique du secondaire – Cône et sphère et Voyager sur une sphère, par Xavier Hubaut