Sphère d'homologie

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En topologie algébrique, une sphère d'homologie est une variété X de dimension n qui a les mêmes groupes d'homologie qu'une n-sphère (pour un certain entier n ≥ 1), c'est-à-dire telle que

H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z)

et

Hi(X,Z) = {0} pour tout autre entier i.

Une telle variété X est donc connexe, fermée (i.e. compacte et sans bord), orientable, et avec (à part b0=1) un seul nombre de Betti non nul : bn.

Les sphères d'homologie rationnelle sont définies de façon analogue, avec l'homologie à coefficients rationnels.

Groupe fondamental[modifier | modifier le code]

Pour n > 1, la nullité de b1 n'implique pas que X soit simplement connexe, mais seulement que son groupe fondamental soit parfait (voir théorème d'Hurewicz).

La seule 3-sphère d'homologie qui soit simplement connexe est la 3-sphère usuelle S3. Toutes les autres ont un groupe fondamental infini, sauf la sphère d'homologie de Poincaré (cf ci-dessous).

L'existence de 3-sphères d'homologie non simplement connexes montre que la conjecture de Poincaré ne peut pas se formuler en termes purement homologiques.

Sphère d'homologie de Poincaré[modifier | modifier le code]

La sphère d'homologie de Poincaré est une 3-sphère d'homologie particulière. Son groupe fondamental, le groupe binaire icosaédrique (en), est d'ordre 120, engendré par deux générateurs, et isomorphe au groupe SL(2,Z/5Z).

On peut construire cet espace à partir du dodécaèdre par identification de chaque face avec la face opposée, en choisissant la rotation d'angle minimum qui superpose ces deux faces (voir l'article Espace dodécaédrique de Poincaré). On obtient ainsi une 3-variété fermée. (Les deux autres choix possibles de rotation donnent soit une 3-variété hyperbolique (en) – l'espace de Seifert-Weber (en) – soit l'espace projectif RP3.)

Une deuxième manière de construire la sphère de Poincaré est de quotienter SO(3) par le groupe icosaédrique I=A5. Plus intuitivement, cela signifie que la sphère de Poincaré est l'espace de toutes les positions visuellement distinctes que peut prendre un icosaèdre régulier de centre fixe, dans l'espace euclidien de dimension 3. Une variante est de remplacer SO(3) par son revêtement universel, que l'on peut réaliser comme le groupe des quaternions unitaires et qui est homéomorphe à la 3-sphère. On quotiente alors S3 par le groupe d'isométries laissant invariant l'icosaèdre élémentaire, puisque ce groupe est le revêtement double parfait du groupe icosaédrique I : c'est le « groupe binaire icosaédrique » mentionné au début de cette section.

Une troisième approche est la chirurgie de Dehn (en) : la sphère de Poincaré s'obtient à partir de S3 par une chirurgie le long du nœud de trèfle droit avec framing (en) +1.

Constructions et exemples[modifier | modifier le code]

  • Toute chirurgie dans S3 le long d'un nœud avec framing ±1 donne une 3-sphère d'homologie.
  • Plus généralement, une chirurgie le long d'un entrelacs aussi, pourvu que la matrice constituée des nombres d'intersection (hors de la diagonale) et des framings (sur la diagonale) ait pour déterminant ±1.
  • Si p, q et r sont des entiers positifs deux à deux premiers entre eux alors l'entrelacs de la singularité xp + yq + zr = 0 (c'est-à-dire l'intersection de cette 2-variété complexe avec une petite 5-sphère centrée en 0) est la 3-sphère d'homologie Σ(p, q, r) de Brieskorn. Elle est homéomorphe à la 3-sphère standard si p, q ou r vaut 1. La sphère de Poincaré est Σ(2, 3, 5).
  • La somme connexe de deux 3-sphères d'homologie orientées est une 3-sphère d'homologie. Inversement, dans la décomposition de Milnor (essentiellement unique (en)) d'une 3-sphère d'homologie en somme connexe de 3-variétés indécomposables, les composantes sont des sphères d'homologie.
  • Si a1, … , ar sont des entiers supérieurs ou égaux à 2 et premiers entre eux deux à deux, alors la variété de Seifert fibrée sur S2 correspondant à la liste (b,(o1,0);(a1,b1), … ,(ar,br)) est une sphère d'homologie si b et les bk sont choisis de telle sorte que b+b1/a1+…+br/ar=1/(a1ar). (Un tel choix de b et des bk est toujours possible, et tous les choix donnent la même sphère d'homologie.) Si r ≤ 2, c'est simplement la 3-sphère usuelle. Si r > 2, ce sont des 3-sphères d'homologie non triviales et distinctes. Le cas où r = 3 et où {a1,a2,a3}={2,3,5} donne la sphère de Poincaré. Dans tous les autres cas, la 3-sphère d'homologie obtenue est un espace d'Eilenberg-MacLane et sa géométrie de Thurston est modelée sur le revêtement universel de SL2(R).

Invariants[modifier | modifier le code]

  • Invariant de Rokhlin (en) – Toute 3-sphère d'homologie possède une unique structure spin (en), et toute 3-variété spin M borde une 4-variété spin, dont la signature (en) est divisible par 8 et dont la valeur modulo 16 ne dépend que de M. Ceci permet d'associer à toute 3-sphère d'homologie un invariant élément de Z/2Z.
  • Invariant de Casson (en) – À toute 3-sphère d'homologie orientée est associé un entier, additif par rapport à la somme connexe, et changeant de signe quand on renverse l'orientation. Sa réduction modulo 2 est l'invariant de Rokhlin.
  • L'invariant de Casson de la 3-sphère standard est 0 ; celui de la sphère de Poincaré est ±1.

Applications[modifier | modifier le code]

La suspension d'une 3-sphère d'homologie X non standard est une 4-variété homologique (en) qui n'est pas une variété topologique. La double suspension de X est homéomorphe à la 5-sphère standard, mais sa triangulation (induite par une triangulation de X) n'est pas une variété linéaire par morceaux (en).

La question de savoir si toute variété fermée de dimension supérieure ou égale à 5 est homéomorphe à un complexe simplicial est toujours ouverte. Galewski et Stern ont démontré qu'elle était équivalente au problème de l'existence d'une 3-sphère d'homologie Σ, d'invariant de Rokhlin non nul, telle que la somme connexe Σ#Σ borde une 4-variété acyclique (en).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Emmanuel Dror, « Homology spheres », Israel J. Math. (en), vol. 15,‎ 1973, p. 115-129 (DOI 10.1007/BF02764597)
  • (en) David Galewski et Ronald Stern, « Classification of simplicial triangulations of topological manifolds », Ann. of Math., vol. 111, no 1,‎ 1980, p. 1–34 (lire en ligne)
  • (en) Robion Kirby (en) et Martin Scharlemann, « Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere », dans Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), Academic Press,‎ 1979, p. 113-146
  • (en) Michel Kervaire, « Smooth homology spheres and their fundamental groups », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 144,‎ 1969, p. 67-72, lien Math Reviews
  • (en) Nikolai Saveliev, « Invariants of Homology 3-Spheres », dans Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 140, Low-Dimensional Topology, I, Springer,‎ 2002 (ISBN 3-540-43796-7)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) A 16-Vertex Triangulation of the Poincaré Homology 3-Sphere and Non-PL Spheres with Few Vertices, par Anders Björner (en) (KTH) et Frank H. Lutz (TUB)


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Homology sphere » (voir la liste des auteurs)