Sous-groupe de Fitting

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Soit G un groupe, au sens mathématique. Le sous-groupe de Fitting de G est un certain sous-groupe caractéristique de G qui intervient de façon importante dans la partie de la théorie des groupes finis appelée analyse locale.

Théorème de Fitting[modifier | modifier le code]

Le théorème de Fitting, énoncé et démontré[1] par Hans Fitting en 1938, peut s'énoncer comme suit :

Si H1, ...., Hn sont des sous-groupes normaux nilpotents de G, de classes de nilpotence respectives c1, ...., cn, alors le sous-groupe de G engendré par H1, … , Hn est lui aussi un sous-groupe normal nilpotent de G et sa classe de nilpotence est inférieure ou égale à la somme c1 + .... + cn de celles des Hi.

Dans ce qui suit, on donne une démonstration[2] dans le langage des commutateurs de sous-groupes. On peut rédiger la démonstration en donnant la préférence aux commutateurs d'éléments[3].

Définition du sous-groupe de Fitting[modifier | modifier le code]

Il résulte du théorème de Fitting que si le groupe G est fini, le sous-groupe F(G) de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G est lui-même normal et nilpotent. Il est clair que F(G) est alors le plus grand (relativement à l'inclusion) des sous-groupes normaux nilpotents de G et que c'est un sous-groupe caractéristique de G. On pose dès lors la définition suivante :

Si G est un groupe fini, on appelle sous-groupe de Fitting de G et on note F(G)[5] ou Fit(G)[6] le plus grand (relativement à l'inclusion) des sous-groupes normaux nilpotents de G.

On montre[7] que si G est un groupe fini et que, pour tout diviseur premier p de l'ordre de G, on désigne par Op(G) l'intersection de tous les p-sous-groupes de Sylow de G (intersection qui est aussi le plus grand p-sous-groupe normal de G), alors F(G) est le produit direct des Op(G), où p parcourt les diviseurs premiers de l'ordre de G.

Prouvons[8] que si le groupe G est infini, il n'a pas forcément un plus grand sous-groupe normal nilpotent. On sait que le sous-groupe du groupe général linéaire GLn(K) formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale principale est nilpotent de classe n – 1. Il existe donc une suite infinie (Gn) telle que, pour chaque n, Gn soit un groupe nilpotent de classe n. Désignons par G la somme restreinte externe de la famille (Gn). Chaque Gn est un sous-groupe normal nilpotent de G et les Gn engendrent G. Donc, si G avait un plus grand sous-groupe normal nilpotent, ce sous-groupe serait G tout entier, donc G serait nilpotent. Soit alors c la classe de nilpotence de G; chaque Gn serait nilpotent de classe ≤ c, ce qui est faux si n > c.

On ne peut donc pas définir de façon générale le sous-groupe de Fitting d'un groupe comme le plus grand de ses sous-groupes normaux nilpotents. Certains auteurs[9] disent qu'un groupe (non forcément fini) G admet un sous-groupe de Fitting si et seulement s'il admet un plus grand sous-groupe normal nilpotent (et c'est alors ce sous-groupe qui est appelé le sous-groupe de Fitting de G). Selon cette définition, un groupe infini n'a pas forcément de sous-groupe de Fitting. D'autres auteurs[10] définissent le sous-groupe de Fitting d'un groupe quelconque G comme le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G. Avec cette définition, tout groupe admet un sous-groupe de Fitting (qui n'est pas forcément nilpotent).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. H. Fitting, « Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 48, 1938, p. 77-141. (Référence donnée par J. S. Rose, A Course on Group Theory, 1978, réimpr. Dover 1994, p. 159 et 296.)
  2. C'est essentiellement la démonstration donnée par W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 166.
  3. Voir par exemple G. Endimioni, Une introduction aux groupes nilpotents : Cours de D.E.A., Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence,‎ 1996/1997 (en ligne lire en ligne), p. 14.
  4. Ce lemme est utilisé implicitement dans la démonstration du théorème de Fitting donnée par W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 166.
  5. C'est la notation employée par exemple par (en) Hans Kurzweil (de) et Bernd Stellmacher (de), The Theory of Finite Groups, An Introduction,‎ 2004 (lire en ligne), p. 104. (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e édition, tirage de 1999, p. 118, met le F en ronde.
  6. (en) W. R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover,‎ 1987, p. 167 ; (en) John C. Lennox et Derek J. S. Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups, Oxford, Clarendon Press,‎ 2004, p. 9.
  7. Voir par exemple Kurzweil et Stellmacher 2004, p. 104.
  8. L'exemple de la somme restreinte externe d'une suite infinie (Gn), où pour tout n, Gn est nilpotent de classe n, est donné par W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover 1987, exerc. 9.2.32, p. 222.
  9. Voir par exemple Scott 1987, p. 167.
  10. Voir par exemple Endimioni 1996/1997, p. 14, ou encore Lennox et Robinson 2004, p. 9.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Radical de Hirsch-Plotkin (en)