Somme de Dedekind

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En mathématiques, les sommes de Dedekind, nommées ainsi en l'honneur du mathématicien Richard Dedekind, sont certaines sommes de produits d'une fonction en dents de scie s, et sont fonctions de deux variables entières. Dedekind les a introduites pour exprimer l'équation fonctionnelle de la fonction êta de Dedekind. Elles ont été, par la suite, beaucoup étudiées en théorie des nombres et sont apparues dans certains problèmes de topologie. Les sommes de Dedekind sont reliées entre elles par de nombreuses équations, dont cet article ne liste qu'une partie.

Définition[modifier | modifier le code]

La somme de Dedekind est une fonction définie pour deux entiers de la manière suivante :

s(k,h)=\sum_{r=1}^{k-1}{\frac rk\left( \frac{hr}k-\left[ \frac{hr}k\right]-\frac12\right)}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si l'on pose
    ((x))= \begin{cases} x-[x]-1/2&\mbox{si }x\mbox{ n}' \mbox{est pas entier} \\ 0&\mbox{sinon, } \end{cases}
    on peut écrire que
    s(h,k)=\sum_{r \mbox{ mod } k}{\left( \left( \frac{r}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hr}k\right)\right)}.
    Cela permet d'exploiter le fait que ((x)) est périodique de période 1.
  • Si h'\equiv\pm h[k], alors s(h',k)=\pm s(h,k) avec le même signe.
  • Si h\bar h\equiv\pm1[k], alors s(\bar h,k)=\pm s(h,k).
  • Si h^2+1\equiv0[k], alors s(h,k)=0.

Loi de réciprocité[modifier | modifier le code]

Si h et k sont premiers entre eux, alors :

12hk\Big(s(h,k)+s(k,h)\Big)=h^2 + k^2 -3hk+1.

Propriétés de congruence[modifier | modifier le code]

  • Le nombre 6ks(h,k) est entier.
  • Si \theta=(3,k) (avec (.,.) désignant le plus grand commun diviseur), on a :
    • 12hks(k,h)\equiv0[\theta k]
    • 12hks(h,k)\equiv h^2+1[\theta k]
  • On a aussi :
    12ks(h,k) \equiv (k-1)(k+2) -4h(k-1) + 4\sum_{r < k/2}{\left[\frac{2hr}{k} \right]} \mbox{ mod } 8.
  • Si k = 2λk1 et k1 impair, alors pour tout h impair :
    12hks(h,k) \equiv h^2 + k^2 + +5k -4k\sum_{v<h/2}{\left[\frac{2kv}{h}\right]} \mbox{ mod } 2^{\lambda + 3}.
  • Enfin, si q vaut 3, 5, 7 ou 13 et que r = 24/(q–1). Choisissons les entiers a, b, c et d tels que ad–bc = 1 et c = qc1 et posons :
    \delta = \left(s(a,c)-\frac{a+d}{12c} \right) - \left(s(a,c_1)-\frac{a+d}{12c_1} \right).
    Alors δr est un entier pair.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Tom Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) A. Bayad et A. Raouj, « Reciprocity formulae for general multiple Dedekind-Rademacher sums and enumeration of lattice points », Acta Arith., vol. 145,‎ 2010, p. 137-154
  • (en) A. Bayad et A. Raouj, « Arithmetic of higher dimensional Dedekind-Rademacher sums », Journal of Number Theory,‎ 2011