Sommation de Cesàro

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La sommation de Cesàro est, en analyse, une méthode alternative pour assigner une somme à une série. Si la série converge dans le sens usuel vers A, alors la série est également sommable au sens de Cesàro et possède la somme de Cesàro A. En revanche, une série qui ne converge pas peut néanmoins avoir une somme de Cesàro bien définie.

La sommation de Cesàro porte le nom de l'analyste italien Ernesto Cesàro (1859–1906).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit :

  • \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} une suite réelle ;
  • S_k = a_1 + \cdots + a_k la somme partielle d'ordre k de la série \sum_{n=1}^\infty a_n, somme des k premiers termes de \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}.

On dit que la série \sum_{n=1}^\infty a_n est sommable au sens de Cesàro si la valeur moyenne de ses sommes partielles S_k tend vers A \in \R :

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n S_k = A.

A est alors la somme de Cesàro de la série. En d'autres termes, la somme de Cesàro d'une série est la limite de la moyenne arithmétique de ses n premières sommes partielles quand n tend vers l'infini.

D'après le lemme de Cesàro, toute série convergente est sommable au sens de Cesàro, et sa somme de Cesàro est égale à la somme de la série. En revanche, il existe des séries divergentes qui sont néanmoins sommables au sens de Cesàro.

Exemples[modifier | modifier le code]

1 − 1 + 1 − 1 ⋯[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Série de Grandi.

Soit la suite définie par :

a_n = {(-1)}^{n+1} ;

Il s'agit de la suite :

1, -1, 1, -1, \ldots

Soit G la série correspondante :

 G = \sum_{n=1}^\infty a_n =1-1+1-1+1-\cdots

Alors la suite des sommes partielles S_n = \sum_{k=1}^n a_k  est

1, 0, 1, 0, 1, 0,\ldots

Il est ainsi évident que la série G, également connue comme série de Grandi, n'est pas convergente. En revanche, les termes de la suite t_n des sommes partielles de s_n t_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k sont :

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots

de telle façon que

\lim_{n\to\infty} t_n = 1/2

Ainsi la somme de Cesàro de la série G est 1/2.

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯[modifier | modifier le code]

Article détaillé : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.

Soit la suite définie par :

a_n = n ;

Il s'agit de la suite :

1, 2, 3, 4, \ldots

Soit G la série correspondante :

 G = \sum_{n=1}^\infty a_n =1+2+3+4+5+\cdots

La suite de ses sommes partielles est :

1, 3, 6, 10, \ldots

Ce qui en fait une série divergente. Les termes de la suite de la moyenne de ses sommes partielles sont :

\frac{1}{1}, \,\frac{4}{2}, \,\frac{10}{3}, \,\frac{20}{4}, \,\ldots

Ici, cette suite diverge également : G n'est pas sommable au sens de Cesàro. En fait, pour toute série qui diverge vers l'infini, la méthode de Cesàro conduit à une suite qui diverge de la même façon : une telle série n'est pas sommable au sens de Cesàro.

Sommation (C, α)[modifier | modifier le code]

En 1890, Ernesto Cesàro décrit une famille plus large de méthodes de sommation qui sont depuis appelées (C, n) pour les entiers positifs n. La méthode (C, 0) est la sommation ordinaire, (C, 1) est la sommation de Cesàro décrite ci-dessus. Les méthodes d'ordre plus élevées sont décrites ainsi :

Soit la suite a_n et la série correspondante \Sigma a_n. On définit les quantités

A_n^{-1}=a_n;\quad A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

On définit également les quantités E_n correspondant aux valeurs A_n décrites ci-dessus pour la série 1 + 0 + 0 + 0 + \ldots. Alors, la somme (C, α) de \Sigma a_n est notée (C, \alpha)-\Sigma a_n et possède la valeur

(C,\alpha)-\sum_{j=0}^\infty a_j=\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

si elle existe[1]. Cette description représente l'application de la méthode de sommation initiale itérée α fois et peut être reformulée :

(C,\alpha)-\sum_{j=0}^\infty a_j = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=0}^n \frac{{n \choose j}}{{n+\alpha \choose j}} a_j.

Encore plus généralement, pour \alpha\in\mathbb{R}\setminus(-\mathbb{N}), soit A_n^\alpha donné implicitement par les coefficients de la série

\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}},

et E_n^\alpha défini comme précédemment (les E_n^\alpha sont les coefficients binomiaux de puissance −1 − α). Alors la somme (C, α) de \Sigma a^n est définie comme précédemment.

L'existence d'une sommation (C, α) implique l'existence de toutes les sommations d'ordre supérieure, ainsi que an = o(nα) si α > −1.

Sommation de Cesàro d'une intégrale[modifier | modifier le code]

Soit α ≥ 0. L'intégrale \scriptstyle{\int_0^\infty f(x)\,dx} est (C, α)-sommable au sens de Cesàro si

\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^\lambda\left(1-\frac{x}{\lambda}\right)^\alpha f(x)\, dx

existe et est finie[2]. La valeur de cette limite, si elle existe, est la somme (C, α) de l'intégrale. Si α=0, le résultat est la convergence de l'intégrale impropre. Si α=1, la convergence (C, 1) est équivalente à l'existence de la limite

\lim_{\lambda\to \infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^\lambda\left\{\int_0^xf(y)\, dy\right\}\,dx

qui est la limite des moyennes des intégrales partielles.

De façon similaire aux séries, si une intégrale est (C,α)-sommable pour une valeur α ≥ 0, elle est également (C,β)-sommable pour tout β > α, et la valeur de la limite résultante est la même.

Annexes[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Bruce Shawyer et Watson Bruce, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford University Press,‎ 1994 (ISBN 0-19-853585-6)
  • (en) Edward Charles Titchmarsh Titchmarsh, Introduction to the theory of Fourier integrals, New York, Chelsea Pub. Co.,‎ 1948 (ISBN 978-0-8284-0324-5)
  • (en) I.I. Volkov, Encyclopedia of Mathematics, Springer,‎ 2001 (ISBN 978-1-55608-010-4, lire en ligne), « Cesàro summation methods »
  • (en) Antoni Zygmund, Trigonometric series, Cambridge University Press,‎ 1968 (ISBN 978-0-521-35885-9)

Références[modifier | modifier le code]

  1. Shawyer et Watson 1994, p. 16-17.
  2. Titchmarsh 1948, p. §1.15.