Soliton de Peregrine

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Vue 3D de l'évolution spatio-temporelle du soliton de Peregrine

Le soliton de Peregrine est une solution mathématique de l'équation de Schrödinger non-linéaire[1], ou Équation de Gross-Pitaevskii. Cette solution a été établie en 1983 par Howell Peregrine, chercheur au département de mathématiques de l'Université de Bristol.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Au contraire du soliton fondamental qui a la propriété de conserver sa forme caractéristique inchangée durant sa propagation, le soliton de Peregrine présente une double localisation, à la fois dans le domaine temporel et dans le domaine spatial. Ainsi, à partir d'une petite oscillation sur un fond continu, le soliton de Peregrine se développe, voyant sa durée temporelle diminuer et son amplitude augmenter. Au point de compression maximale, son amplitude atteint trois fois l'amplitude du fond continu environnant (si l'on raisonne en intensité comme c'est le cas en optique, c'est un facteur 9 qui sépare le pic du soliton du fond environnant). Passé ce point de compression maximale, l'onde voit son amplitude diminuer et s'élargit pour finalement disparaître.

Ce comportement du soliton de Peregrine correspond aux critères habituellement retenus pour qualifier une vague scélérate. Le soliton de Peregrine représente ainsi une explication potentielle attirante de la formation de ces vagues d'une amplitude anormalement élevée qui apparaissent et disparaissent sans laisser de trace [2].

Expression mathématique[modifier | modifier le code]

Dans le domaine spatio-temporel[modifier | modifier le code]

Profils spatial et temporel au point de compression maximal

Le soliton de Peregrine est solution de l'équation de Schrödinger non-linéaire unidimensionnelle qui peut s'écrire sous la forme normalisée suivante :

i \frac{\partial \psi}{\partial \tau} + \frac{1}{2}  \frac{\partial^2 \psi}{\partial \xi ^2 } + |\psi|^2 \psi = 0

avec \xi coordonnée spatiale et \tau coordonnée temporelle. \psi (\xi, \tau) représentant l'enveloppe d'une onde de surface se propageant en eau profonde. La dispersion est considérée anormale et la non-linéarité autofocalisante.

Le soliton de Peregrine a pour expression dans le domaine spatio-temporel :

  \psi (\xi, \tau) =  \left[ 1-\frac{4 (1 + 2 i \tau)}{1+4 \xi^2 + 4 \tau^2}  \right] e^{i \tau}

si bien que ses maxima temporel et spatial sont atteints en \xi = 0 et \tau = 0.

Dans le domaine spectral[modifier | modifier le code]

Évolution du spectre du soliton de Peregrine [3]

À partir de la transformée de Fourier de \psi, il est également possible d'exprimer mathématiquement le soliton de Peregrine en fonction de la fréquence spatiale \eta [3]:

  \tilde{\psi} (\eta, \tau) =  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{\psi (\xi, \tau) e^{i \eta \xi} d\xi} = \sqrt{2 \pi} e^{i \tau} \left[ \frac{1+2 i \tau}{\sqrt{1+4 \tau^2}} exp \left( -\frac{|\eta|}{2} \sqrt{1+4 \tau^2}  \right) - \delta(\eta) \right]

avec \delta étant la distribution de Dirac.

Cela correspond à un module (avec le fond continu correspondant à la distribution de Dirac omis) :   |\tilde{\psi} (\eta, \tau)| =  \sqrt{2 \pi}  exp \left( -\frac{|\eta|}{2} \sqrt{1+4 \tau^2}  \right)

De manière intéressante, il est possible de remarquer qu'à n'importe quel instant fixé \tau, si le module du spectre est représenté en échelle logarithmique, il aura alors une forme triangulaire caractéristique avec une pente étant en valeur absolue \frac{\sqrt{1+4 \tau^2}}{2}. Le spectre est donc le plus étendu (i.e. la décroissance du spectre est la plus faible) en \tau = 0. Cela correspond sans surprise au point de compression maximale.

Le soliton de Peregrine vu sous différents angles[modifier | modifier le code]

Le soliton de Peregrine par rapport aux solutions non-linéaires

En tant que soliton rationnel[modifier | modifier le code]

Le soliton de Peregrine est un soliton rationnel d'ordre 1.

En tant que breather d'Akhmediev[modifier | modifier le code]

Le soliton de Peregrine peut également être vu comme un cas limite d'une classe de solitons à respiration appelés breathers d'Akhmediev. Ainsi lorsque la localisation temporelle des breathers tend vers l'infini, les breathers d'Akhmediev tendent vers le soliton de Peregrine.

En tant que soliton de Kuznetsov-Ma[modifier | modifier le code]

Le soliton de Peregrine peut énfin considéré comme le cas limite des solitons dits de Kuznetsov-Ma.

Démonstrations expérimentales[modifier | modifier le code]

Les prédictions mathématiques de H. Peregrine ont été initialement établies dans le domaine hydrodynamique. C'est pourtant dans un tout autre domaine que le soliton de Peregrine a pu être pour la première fois démontré expérimentalement et caractérisé.

Génération dans le domaine de l'optique[modifier | modifier le code]

Enregistrement du profil temporel d'un soliton de Peregrine en optique [4]

En 2010, soit plus de 25 ans après les travaux de Peregrine, des chercheurs ont exploité l'analogie qui peut être dressée entre le monde de l'hydrodynamique et l'optique pour générer dans des fibres optiques des solitons de Peregrine [5],[6]. En effet, la propagation d'une impulsion dans une fibre optique et l'évolution d'une vague en eau profonde répondent toutes les deux à l'équation de Schrödinger non-linéaire. (moyennant néanmoins une inversion des variables de temps et d'espace). Une telle analogie avait déjà été exploitée par le passé pour générer dans les fibres optiques des solitons optiques.

Plus précisément, l'équation de Schrödinger non-linéaire s'écrit pour une fibre optique en unités dimensionnées :

i \frac{\partial \psi}{\partial z} - \frac{\beta_2}{2}  \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2 } + \gamma |\psi|^2 \psi = 0

avec \beta_2 étant la dispersion d'ordre 2 (supposée anormale, soit \beta_2 < 0 et \gamma étant le coefficient de non-linéarité Kerr. z et t représentent respectivement la distance de propagation et la variable temporelle dans un repère se propageant à la vitesse de groupe.

Dans ces conditions, l'expression du soliton de Peregrine sous sa forme dimensionnée s'écrit [4] :


\psi (z,t) = \sqrt{P_0} \left[ 1-\frac{4  \left( 1 + 2 i  \dfrac{z}{L_{NL}}  \right) }{1+4   \left( \dfrac{t}{T_0} \right) ^2 + 4   \left( \dfrac{z}{L_{NL}} \right) ^2}  \right] e^{ \dfrac{i z}{L_{NL}}}  .


L_{NL} représente une longueur non-linéaire définie par L_{NL} = \dfrac{1}{\gamma P_0} et T_0 une durée définie par T_0 = \dfrac{1}{\sqrt{\beta_2  L_{NL}}}. P_0 représente la puissance du fond continu.

De manière intéressante et en se basant uniquement sur des composants des télécommunications optiques, il a été montré qu'avec même une condition initiale approchée (dans leur cas, une modulation initiale sinusoidale), un profil très proche du soliton de Peregrine pouvait être généré [4],[7]. Néanmoins, les conditions expérimentales non-idéales se traduisent par l'apparition, après le point de compression maximale, de sous-structutures ayant elles-mêmes la forme d'un soliton de Peregrine [4], ce qui peut-être analytiquement expliqué par la transformation de Darboux [8] .

Le profil spectral triangulaire typique a également été confirmé expérimentalement [4],[5],[9].

Génération dans le domaine de l'hydrodynamique[modifier | modifier le code]

Ces résultats en optique ont été confirmés dès 2011 dans le domaine hydrodynamique[10],[11] par des expériences menées dans un canal d'une quinzaine de mètres de long. En 2013, des expériences complémentaires utilisant un modèle réduit de chimiquier ont souligné tout le potentiel dévastateur de ces vagues sur un navire [12].

Génération dans d'autres domaines[modifier | modifier le code]

D'autres expériences menées dans de domaine de la physique des plasmas également régie par l'équation de Schrödinger non-linéaire ont également montré l'universalité de cette forme d'onde [13].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) D. H. Peregrine, « Water waves, nonlinear Schrödinger equations and their solutions », J. Austral. Math. Soc. Ser. B, vol. 25,‎ 1983, p. 16-43 (DOI 10.1017/S0334270000003891)
  2. (en) V.I. Shrira et V.V. Geogjaev, « What makes the Peregrine soliton so special as a prototype of freak waves ? », J. Eng. Math.,‎ 2009
  3. a et b (en) Akhmediev, N., Ankiewicz, A. , Soto-Crespo, J. M. and Dudley J. M., « Universal triangular spectra in parametrically-driven systems », Phys. Lett. A, vol. 375,‎ 2011, p. 775-779
  4. a, b, c, d et e (en) K. Hammani, B. Kibler, C. Finot, P. Morin, J. Fatome, J.M. Dudley et G. Millot, « Peregrine soliton generation and breakup in standard telecommunications fiber », Optics Letters, vol. 36,‎ 2011, p. 112-114 (DOI 10.1364/OL.36.000112)
  5. a et b (en) B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, F. Dias, G. Genty, N. Akhmediev et J.M. Dudley, « The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics », Nature Physics,‎ 2010 (DOI 10.1038/nphys1740)
  6. (en) « Peregrine’s 'Soliton' observed at last », bris.ac.uk (consulté en 2010-08-24)
  7. (en) M. Erkintalo, G. Genty, B. Wetzel et J. M. Dudley, « Akhmediev breather evolution in optical fiber for realistic initial conditions », Phys. Lett. A, vol. 375,‎ 2011, p. 2029-2034
  8. (en) M. Erkintalo, B. Kibler, K. Hammani, C. Finot, N. Akhmediev, J.M. Dudley et G. Genty, « Higher-Order Modulation Instability in Nonlinear Fiber Optics », Physical Review Letters, vol. 107,‎ 2011, p. 253901 (DOI 10.1103/PhysRevLett.107.253901)
  9. (en) Hammani K., Wetzel B. , Kibler B. , Fatome J., Finot C. , Millot G., Akhmediev N., and Dudley J. M., « Spectral dynamics of modulation instability described using Akhmediev breather theory », Opt. Lett., vol. 36, no 2140-2142,‎ 2011 (DOI 10.1364/OL.36.002140)
  10. (en) A. Chabchoub, N.P. Hoffmann et N. Akhmediev, « Rogue wave observation in a water wave tank », Phys. Rev. Lett.,‎ 2011 (DOI 10.1103/PhysRevLett.106.204502)
  11. (en) « Rogue waves captured », www.sciencenews.org (consulté en 2011-06-03)
  12. (en) M. Onorato, D. Proment, G. Clauss et M. Clauss, « Rogue Waves: From Nonlinear Schrödinger Breather Solutions to Sea-Keeping Test », Plos One, vol. 8,‎ 2013 (DOI 10.1371/journal.pone.0054629)
  13. (en) H. Bailung, S. K. Sharma et Y. Nakamura, « Observation of Peregrine solitons in a multicomponent plasma with negative ions », Phys. Rev. Lett.,‎ 2011


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