Simulation de la turbulence

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Une simulation de turbulence est un outil, habituellement un calcul, utilisé pour prédire le comportement d'une turbulence, c'est-à-dire d'un mouvement de fluide dans lequel certaines parties du fluide ont un mouvement de rotation sur elles-mêmes.

Définition d'un écoulement turbulent[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Turbulence.

Les équations de Navier-Stokes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équations de Navier-Stokes.

Simulation en mécanique des fluides numérique[modifier | modifier le code]

Simulation de turbulences : simulation directe (DNS)
Simulation de turbulences : simulation directe (DNS)
 
Simulation uniquement des grandes turbulences, les petites étant prises en compte par un modèle physique (LES)
Simulation uniquement des grandes turbulences, les petites étant prises en compte par un modèle physique (LES)

Il existe essentiellement trois manière de prendre en compte les turbulences en mécanique des fluides numérique.

La première méthode consiste à avoir un maillage plus fin que le plus petit tourbillon attendu. On parle de simulation directe (DNS, direct numerical simulation). Cette méthode est extrêmement gourmande en ressources et en temps, et est donc rarement utilisée dans un contexte industriel.

Les autres méthodes consistent à simplifier les petites perturbations. En effet, selon le principe de la cascade de Kolmogorov, les grand tourbillons se divisent en tourbillons plus petits, et en dessous d'une certaine taille, la viscosité dissipe l'énergie cinétique des tourbillons, qui devient de l'énergie interne au fluide. Cela donne lieu à deux méthodes :

  • la simulation des grandes échelles (SGE, ou LES, large eddy simulation) : le maillage est plus grossier que précédemment, les tourbillons plus fins que le maillage sont pris en compte par un modèle physique (moyenne spatiale des équations de Navier-Stokes), seuls les grand tourbillons sont simulés ;
  • le moyennage temporel des équations de Navier-Stokes pour toutes les échelles (RANS, Reynolds averaged Navier-Stokes simulation).

La méthode RANS est la plus économe en ressources et est de fait très majoritairement utilisée pour les applications industrielles.

Le moyennage temporel consiste à décomposer le champ de vélocité instantané v en une composante moyenne v et une composante de fluctuation v ' :

\vec{v}(\vec{x}, t) = \overline{\vec{v}}(\vec{x}, t) + \vec{v'}(\vec{x}, t)

Cela permet de définir l'énergie cinétique des turbulences k :

k = \frac{1}{2} \overline{\vec{v'}^2}

(v ' est nul en moyenne, mais pas v '2).

L'équation de la quantité de mouvement de navier-Stokes peut se réécrire sous la forme de la moyenne de Reynolds

\rho \left ( \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial t} + \bar{v}_k \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_k} \right ) = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left ( \mu \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} \right ) + \frac{\partial \mathrm{R}_{ij}}{\partial x_j}

Le terme Rij est le tenseur des contraintes de Reynolds défini par

\mathrm{R}_{ij} = -\rho \overline{u'_i u'_j}

Comme tous les tenseurs de contraintes, il a six composantes indépendantes ce qui rajoute six équations au système pour chaque volume de contrôle (cellule du maillage).

En utilisant l'hypothèse de Boussinesq, on peut simplifier l'écriture du tenseur de reynolds en faisant intervenir une viscosité de turbulence μT :

\mathrm{R}_{ij} = \mu_\mathrm{T} \left ( \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{v}_j}{\partial x_i} \right ) - \frac{2}{3} \mu_\mathrm{T}\frac{\partial \bar{v}_k}{\partial x_k} \delta_{ij} - \frac{2}{3}\rho k \delta_{ij}

k est l'énergie cinétique de turbulence définie au dessus, et δij est le symbole de Kronecker.

La viscosité de turbulence s'évalue habituellement

  • dans les zones où le nombre de Reynolds est faible (typiquement à proximité des parois), à partir du taux de dissipation spécifique ω, dans le modèle k-ω :
    \mu_\mathrm{T} = \rho \frac{k}{\omega}
  • dans les zones où le nombre de Reynolds est plus important, à partir du taux de dissipation des fluctuations de vélocité par tourbillon ε, dans le modèle k-ε :
    \mu_\mathrm{T} = \mathrm{C}_\mu \rho \frac{k^2}{\varepsilon}.

La limite des modèles k-ω et k-ε s'évalue avec un nombre sans dimension y+ :

y^+ = \frac{y u_\tau}{\nu}

avec

  • y : distance du point considéré par rapport à la paroi ;
  • u_\tau = \sqrt{\tau/\rho} : facteur de vitesse de cisaillement ;
  • nu : viscosité cinématique.

On utilise en général un modèle k-ω pour y+ ≤ 10, et un modèle k-ε pour 30 ≤ y+ ≤ 300. Si l'on veut décrire ce qui se passe à proximité de la paroi, on s'attache à ce que la première cellule ait une épaisseur vérifiant y+ ≃ 1.

Modélisation RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes)[modifier | modifier le code]

Simulation des Grandes Échelles (SGE, Large-Eddy Simulation ou LES en anglais)[modifier | modifier le code]

La Simulation des Grandes Échelles consiste à simuler un écoulement turbulent en définissant un nombre d'onde de coupure au-delà duquel l'énergie due aux mouvements tourbillonnaires est prise en compte par un modèle dit modèle sous-maille. En clair, les plus gros tourbillons sont calculés (ils sont physiquement visibles dans le domaine de calcul), les plus petits sont pris en compte en introduisant une viscosité supplémentaire.

Simulation Directe (DNS)[modifier | modifier le code]

La simulation numérique directe (SND, ou DNS acronyme anglais de Direct Numerical Simulation) est une méthode de simulation de la turbulence utilisée en mécanique des fluides numérique.

Elle permet une approche de la turbulence où toutes les structures tourbillonnaires potentiellement présentes, sont explicitement calculées. Toute l'énergie de la turbulence est donc représentée et on ne se sert pas d'un modèle de tout ou partie du spectre de la turbulence.

Elle est pour l'instant limitée à des domaines d'étude de taille modeste (d'autant plus modestes que le nombre de Reynolds du domaine est élevé). Elle est donc de fait cantonnée aux laboratoires de recherche, car trop gourmande en ressources de calcul pour pouvoir traiter des cas d'intérêt industriel. On l'utilise néanmoins de plus en plus dans le monde de la recherche afin d'élucider des mécanismes physiques au sein des écoulements étudiés.

Sources[modifier | modifier le code]