Série de Kempner

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La série de Kempner est une série obtenue à partir de la série harmonique en excluant tous les termes dont le dénominateur, exprimé en base dix, contient le chiffre 9. La somme des termes de cette série s'écrit :

{\sum_{n=1}^\infty \ }' \frac1n,

où le prime signifie que n ne prend que les valeurs dont le développement décimal ne contient pas de 9.

Son intérêt réside dans le fait que contrairement à la série harmonique, elle converge. Ce résultat fut démontré en 1914 par Aubrey J. Kempner (de)[1]. La preuve est élémentaire : le nombre d'entiers à n chiffres, dont le premier est compris entre 1 et 8 et les n − 1 suivants entre 0 et 8, est 8(9n−1), et chacun d'eux est minoré par 10n−1, donc la série est majorée par la série géométrique

8 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{9}{10}\right)^{n-1} = 80.

Sa valeur approximative[2] est 22,92.

La preuve de convergence est la même en remplaçant 9 par tout autre chiffre et la base dix par toute autre base, et la généralisation à toute suite finie de chiffres de longueur autre que 1 s'en déduit facilement.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kempner series » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) A. J. Kempner, « A Curious Convergent Series », Amer. Math. Monthly, vol. 21, no 2,‎ février 1914, p. 48-50.
  2. Suite A082838 de l'OEIS.

Articles connexes[modifier | modifier le code]