Série de Bell

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En théorie des nombres, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions arithmétiques. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell.

Définition[modifier | modifier le code]

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

f_p(X)=\sum_{n=0}^{\infty} f(p^n)X^n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si), pour tout entier premier p, on a : f_p(X)=g_p(X).
  • Pour deux fonctions arithmétiques f et g,f_p(X)g_p(X)=h_p(X),h est le produit de convolution de Dirichlet de f et de g.
  • Si f est complètement multiplicative, alors :f_p(X)=\frac{1}{1-f(p)X}.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bell series » (voir la liste des auteurs)