Série d'Eisenstein

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En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement.

Séries d'Eisenstein du groupe modulaire

Pour un nombre complexe $\tau$ de partie imaginaire strictement positive, on définit la série d'Eisenstein $G_{2k}(\tau)$ pour chaque entier $k >1$ comme :

$G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.$

C'est remarquable, la série d'Eisenstein est une forme modulaire. Explicitement, si $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ avec $ad-bc=1$ alors :

$G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)$

Donc, $G_{2k}$ est une forme modulaire de poids $2k$.

Relations de récurrence

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en $G_4$ et $G_6$.

Soit $d_k=(2k+3)k!G_{2k+4}$. On dispose de la relation :

$\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}$

Ici, ${n \choose k}$ est le coefficient binomial et $d_0=3G_4$ et $d_1=5G_6$.

Les $d_k$ apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :

$\wp(z) =\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!} =\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}$

Séries de Fourier

Posons $q=e^{2\pi i\tau}$. Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont :

$G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)$

où les coefficients de Fourier $c_{2k}$ sont donnés par :

$c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}}$.

Ici, les B_n sont les nombres de Bernoulli, $\zeta(z)$ est la fonction de Riemann et $\sigma_p(n)$ est simplement la somme des $p$-ièmes puissances des diviseurs de n.

$G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]$

$G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]$

La sommation sur q se résume à la série de Lambert :

$\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}$

Pour un nombre complexe q de module <1.

Identités de Ramanujan

Ramanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes.

$L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}$

$M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}$

$N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}$

Alors :

$q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}$

$q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}$

$q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}$