Série alternée des factorielles

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1-1+2-6+24-120+..., en notations modernes : \sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k!.

Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle[1] ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^\infty x^k \exp(-x) \, dx.

(formellement, puisque les deux séries divergent).

Échangeant somme et intégrale, on obtient :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \int_0^\infty \left[\sum_{k=0}^\infty (-x)^k \right]\exp(-x) \, dx.

La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} k! = \int_0^\infty \frac{\exp(-x)}{1+x} \, dx = -e.\mathrm{Ei}(-1) \approx 0.596347362323194074341078499369\ldots

e est la base des logarithmes népériens, et où \mathrm{Ei}(z) est l'exponentielle intégrale.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (Euler 1760, p. 205)

Références[modifier | modifier le code]

  • (la) L. Euler, « De seriebus divergentibus », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, t. 5,‎ 1760, p. 205-237 (résumé, lire en ligne [PDF])

Voir aussi[modifier | modifier le code]