Série alternée des factorielles

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k!.

Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle[1] ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^\infty x^k \exp(-x) \, {\rm d}x

(formellement, puisque les deux séries divergent).

Échangeant somme et intégrale, on obtient :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \int_0^\infty \left[\sum_{k=0}^\infty (-x)^k \right]\exp(-x) \, {\rm d}x.

La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) :

\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} k! = \int_0^\infty \frac{\exp(-x)}{1+x} \, {\rm d}x = -{\rm e}\cdot\mathrm{Ei}(-1) \approx 0{,}596347362323194074341078499369\ldots

e est la base des logarithmes népériens, et où Ei(z) est l'exponentielle intégrale.

Calcul par une équation différentielle[modifier | modifier le code]

Considérons le système d'équations différentielles

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) = x(t) - y(t),\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)=-y(t)^{2}.

La solution stable vérifiant (x, y) = (0, 0) pour t → ∞ est donnée par y(t) = 1/t. En introduisant ce résultat dans l'équation en x puis en cherchant une solution sous forme de série formelle, on trouve :

x(t) = \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{t^{n}}.

La valeur x(1) est précisément celle qu'on veut calculer. D'un autre côté, on peut calculer la solution exacte :

x(t) ={\rm e}^t\int^{\infty}_{t}\frac{{\rm e}^{-u}}u\mathrm{d}u.

Par intégrations par parties successives, on retrouve la série entière comme développement asymptotique de cette expression pour x(t). Euler utilise cette égalité pour affirmer :

 \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}(n-1)! = {\rm e}\int^{\infty}_{1}\frac{{\rm e}^{-u}}{u}\mathrm{d}u, ce qui est bien la valeur obtenue par sommation de Borel.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·  » (voir la liste des auteurs).

  1. (la) L. Euler, « De seriebus divergentibus », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, t. 5,‎ 1760, p. 205-237 (arXiv 1202.1506, résumé, lire en ligne [PDF]).

Voir aussi[modifier | modifier le code]