Séquence de nombres premiers

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Article principal : Liste de nombres premiers.

Les nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.

Autrement dit, des séquences (finies ou infinies) de nombres premiers satisfaisant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers[MathWorld 1].

Cependant, tous les nombres entiers qui possèdent les propriétés définissant ces catégories, ne sont pas automatiquement premiers.

Le présent article s'intéresse aux séquences de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.

Seule la catégorie des nombres de Mills ne donne que des nombres premiers (mais pas tous les nombres premiers).

Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers, voire tous les nombres premiers (algorithme FRACTRAN de Conway) ; mais elles ont peu d'application pratique, du fait de la longueur ou de la durée des calculs qu'elles entraînent.

Dans cet article, les nombres sont exprimés en base 10.

Sommaire

Auto nombre premier[modifier | modifier le code]

Premier ne pouvant pas s'écrire sous la forme d'un nombre a ajouté à la somme des chiffres de a. Il était parfois appelé aussi « nombre colombien premier »[MathWorld 2].

Exemples des plus petites occurrences : 3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, etc.

Les autres nombres premiers intercalables dans cette liste ne sont pas des auto nombres ; en effet, ils peuvent s'écrire :

2=1+1 (a=1) ; 11=10+1+0 (a=10) ; 13=11+1+1 (a=11) ; 17=13+1+3 (a=13) ; 19=14+1+4 (a=14) ; 23=16+1+6 (a=16) ; 29=19+1+9 (a=19) ; 37=32+3+2 (a=32) ; 41=34+3+4 (a=34) ; 43=35+3+5 (a=35) ; etc.

Voir la suite A006378 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre combinatoire premier[modifier | modifier le code]

Nombre de Bell premier[modifier | modifier le code]

Premier p égal à un nombre de Bell, généralement noté B_n, donnant le nombre de partitions d'un ensemble de n membres.

Exemples des plus petites occurrences :

Entier n 0 1 2 3 4 5 6 7 .. 13 ... 42 ... 55 ...
Premier B_n - - 2 5 - - - 877 ... 27 644 437 ... 35 742 549 198 872 617 291 353 508 656 626 642 567 ... 359 334 085 968 622 831 041 960 188 598 043 661 065 388 726 959 079 837 ...

Les tirets et les points correspondent à des valeurs ou des suites de valeurs de « n » pour lesquelles B_n n'est pas premier.

Voir la suite A051131 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier factoriel[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme « n! - 1 » ou « n! + 1 ».

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 23, 719, 5 039, 39 916 801, 479 001 599, 87 178 291 199, etc.

Voir suite A088054 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier primoriel[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « pn# - 1 » ou « pn# + 1 ».

Exemples des plus petites occurrences : 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, etc.

Voir :

  • Suite de l'OEIS A057704 des entiers « n » tels que « pn# - 1 » est premier.
  • Suite de l'OEIS A014545 des entiers « n » tels que « pn# + 1 » est premier.

Nombre de Motzkin premier[modifier | modifier le code]

Premier égal au nombre de façon différentes de dessiner des cordes non-sécantes entre n points d'un cercle.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 127, 15 511, 953 467 954 114 363, etc.

Voir suite A092832 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Newman-Shanks-Williams premier[modifier | modifier le code]

Premier p = S_{2m+1} qui peut être écrit sous la forme :

S_{2m+1}=\frac{(1+\sqrt{2})^{2m+1}+(1-\sqrt{2})^{2m+1}}{2}, avec m >= 1

Exemples des plus petites occurrences : 7, 41, 239, 9 369 319, 63 018 038 201, 489 133 282 872 437 279, 19 175 002 942 688 032 928 599, etc.

Elles correspondent aux indices m = 3, 5, 7, 19, 29, etc.

Cette catégorie est également abrégée en « NSW premier ».

Voir suite A088165 de l'OEIS et suite A005850 de l'OEIS pour davantage d'exemples d'occurrences et d'indices respectivement.

Bon nombre premier[modifier | modifier le code]

Premier p_n tel que p_n^2>p_{(n-i)} \cdot p_{(n+i)},

où l'indice « n » indique le numéro d'ordre de p dans la suite des nombres premiers ; p_{(n-i)} désigne alors le nombre premier situé à « i » rangs avant p_n et p_{(n+i)} désigne le nombre premier situé symétriquement à « i » rangs après p_n (donc 1 ≤ in−1).

Exemples des plus petites occurrences : 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, 101, 127, 149

Voir la suite A028388 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

La suite des bons nombres premiers est infinie[MathWorld 3]

Nombre de Carol premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme 4^n - 2^{n + 1} - 1 qui peut encore s'écrire (2^n - 1)^2 - 2, où n est un entier naturel non nul.

Exemples des plus petites occurrences :

Entier n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ...
Carol premier p - 7 47 223 - 3 967 16 127 - - 1 046 527 - 16 769 023 - - 1 073 676 287 - - 68 718 952 447 274 876 858 367 ...

Dans le tableau ci-dessus, les tirets remplacent des nombres de Carol non premiers.

Voir la suite A091515 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Ces nombres de Carol premiers , ainsi que les nombres de Kynea premiers (cf. infra) sont des cas particuliers de la sous-catégorie de nombres presque carrés premiers correspondant à k = 2 (cf infra).

Nombre carré centré premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme n^2 + (n - 1)^2 , c'est-à-dire (n^2 + 1) / 2 , avec n impair.

Exemples des plus petites occurrences :

Entier n 3 5 9 11 15 19 25 29 35 39 45 49 51 59 61 65 69 71 79 85 ...
Carré centré premier p 5 13 41 61 113 181 313 421 613 761 1 013 1 201 1 301 1 741 1 861 2 113 2 381 2 521 3 121 3 613 ...

Voir la suite A027862 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre presque carré premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme n^2 - k , où n et k sont des entiers relatifs non nuls.

Exemples de séquences[modifier | modifier le code]

Exemples des plus petites occurrences, pour quelques valeurs du paramètre « k » :

  • « k = 2 » soit « p = n2 - 2 »
Entier naturel n 2 3 5 7 9 13 15 19 21 27 ...
Presque carré premier p 2 7 23 47 79 167 223 359 439 727 ...

Voir la suite A028870 de l'OEIS pour davantage d'exemples de « n » et la suite suite A028871 de l'OEIS pour davantage d'exemples de « p », respectivement.

Les nombres de Carol premiers (cf. supra) et les nombres de Kynea premiers (cf. infra) sont des cas particuliers de cette sous-catégorie de nombres presque carrés premiers correspondant à k = 2.


  • « k = 1 » soit « p = n2 - 1 »

Dans ce cas, comme pour toute valeur du paramètre entier « k » égale à un carré parfait « c2 » , « n2 - c2 » est factorisable en « (n - c)(n + c) » ; donc, seule la valeur « n = c + 1 » peut donner un nombre premier, sans que cette primalité ne soit garantie.

Entier naturel n 2
Presque carré premier p 3


  • « k = -1 » soit « p = n2 + 1 »
Entier naturel n 1 2 4 6 10 14 16 20 24 26 36 ...
Presque carré premier p 2 5 17 37 101 197 257 401 577 677 1 297 ...

Voir la suite A005574 de l'OEIS pour davantage d'exemples de « n » et la suite suite A002496 de l'OEIS pour davantage d'exemples de « p », respectivement.

Les nombres de Fermat premiers (cf. infra) et les nombres de Fermat généralisés premiers sont des cas particuliers de cette sous-catégorie de nombres presque carrés premiers correspondant à k = -1.

Comparaison de séquences[modifier | modifier le code]

  • Quelques exemples complémentaires de nombres presque carrés premiers, mis en perspective, pour diverses valeurs du paramètre « k » :

Les tirets indiquent que les résultats obtenus avec ces valeurs de « n » et du paramètre « k » ne sont pas premières.
Les nombres négatifs entre parenthèses sont une généralisation des nombres premiers dans l'ensemble des entiers relatifs.

k OEIS Entier naturel n  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...
k = 9 - Presque carré premier p = n^2 - 9  - - (-5) - 7 Pas d'autre nombre presque carré premier « p » pour ce « k » qui est un carré parfait.
k = 8 A028886 Presque carré premier p = n^2 - 8  - (-7) - - - 17 - 41 - 73 - 113 - - - - - 281 - 353 - ...
k = 7 A028883 Presque carré premier p = n^2 - 7  (-7) - (-3) 2 - - 29 - - - - - 137 - - - - - 317 - - ...
k = 6 A028880 Presque carré premier p = n^2 - 6  - (-5) (-2) 3 - 19 - 43 - - - - - 163 - - - 283 - - - ...
k = 5 A028877 Presque carré premier p = n^2 - 5  (-5) - (-1) - 11 - 31 - 59 - - - 139 - 191 - 251 - - - - ...
k = 4 - Presque carré premier p = n^2 - 4  - ( -3) - 5 Pas d'autre nombre presque carré premier « p » pour ce « k » qui est un carré parfait.
k = 3 A028874 Presque carré premier p = n^2 - 3  (-3) (-2) - - 13 - - - 61 - 97 - - - 193 - - - - - 397 ...
k = 2 A028871 Presque carré premier p = n^2 - 2  (-2) - 2 7 - 23 - 47 - 79 - - - 167 - 223 - - - 359 - ...
k = 1 - Presque carré premier p = n^2 - 1  - - 3 Pas d'autre nombre presque carré premier « p » pour ce « k » qui est un carré parfait.
k = 0 - Carré parfait n^2 Pas de nombre presque carré premier « p » pour cette valeur de « k » qui ne donne que des carrés parfaits « n2 ».
k = -1 A002496 Presque carré premier p = n^2 + 1  - 2 5 - 17 - 37 - - - 101 - - - 197 - 257 - - - 401 ...
k = -2 A056899 Presque carré premier p = n^2 + 2  2 3 - 11 - - - - - 83 - - - - - 227 - - - - - ...
k = -3 A049423 Presque carré premier p = n^2 + 3  3 - 7 - 19 - - - 67 - 103 - - - 199 - - - - - - ...
k = -4 A005473 Presque carré premier p = n^2 + 4  - 5 - 13 - 29 - 53 - - - - - 173 - 229 - 293 - - - ...
k = -5 A056905 Presque carré premier p = n^2 + 5  5 - - - - - 41 - - - - - 149 - - - - - - - - ...
k = -6 A056909 Presque carré premier p = n^2 + 6  - 7 - - - 31 - - - - - 127 - - - - - - - 367 - ...
k = -7 A079138 Presque carré premier p = n^2 + 7  7 - 11 - 23 - 43 - 71 - 107 - 151 - - - 263 - 331 - - ...
k = -8 A138338 Presque carré premier p = n^2 + 8  - - - 17 - - - - - 89 - - - - - 233 - - - - - ...
k = -9 A138353 Presque carré premier p = n^2 + 9  - - 13 - - - - - 73 - 109 - - - - - - - - - 409 ...
k = -10 A138355 Presque carré premier p = n^2 + 10  - 11 - 19 - - - 59 - - - 131 - 169 - - - - - - - ...
k = -11 A138362 Presque carré premier p = n^2 + 11  11 - - - - - 47 - - - - - - - - - - - - - - ...

Nombre chanceux premier[modifier | modifier le code]

Premier obtenu à partir d'un crible particulier dit « du nombre chanceux » (voir article connexe).

Exemples des plus petites occurrences :

  • De 0 à 100, 9 occurrences : 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79 ;
  • De 100 à 250, 7 occurrences : 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241 ;
  • De 250 à 500, 10 occurrences : 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487 ;
  • De 500 à 1000, 17 occurrences : 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997 ;
  • De 1000 à 1500, 14 occurrences : 1 009, 1 021, 1 039, 1 087, 1 093, 1 117, 1 123, 1 201, 1 231, 1 249, 1 291, 1 303, 1 459, 1 471 ;
  • De 1500 à 2000, 13 occurrences : 1 543, 1 567, 1 579, 1 597, 1 663, 1 693, 1 723, 1 777, 1 801, 1 831, 1 879, 1 933, 1 987 ;
  • De 2000 à 2500, 10 occurrences : 2 053, 2 083, 2 113, 2 221, 2 239, 2 251, 2 281, 2 311, 2 467, 2 473 ;
  • De 2500 à 3000, 10 occurrences : 2 557, 2 593, 2 647, 2 671, 2 689, 2 797, 2 851, 2 887, 2 953, 2 971 ;
  • De 3000 à .... : 3 037, 3 049, 3 109, 3 121, 3 163, 3 187, 3 229, 3 259, 3 301, 3 307, 3 313;
  • ...

Voir la suite A031157 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier de Chen[modifier | modifier le code]

Premier p tel que p + 2 est soit premier, soit semi-premier.

Exemples des plus petites occurrences :

  • De 0 à 100, 20 occurrences : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89 ;
  • De 100 à 250, 20 occurrences : 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239 ;
  • De 250 à 500, 27 occurrences : 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 419, 431, 443, 449, 461, 467, 479, 487, 491, 499 ;
  • ...

Voir la suite A109611 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier issu de troncature de constante[modifier | modifier le code]

Premier constitué par la concaténation jusqu'au rang « n » des chiffres constituant la valeur approchée, en base 10, d'une constante mathématique irrationnelle (partie entière incluse et virgule non prise en compte)[MathWorld 4].

Autrement exprimé, c'est un premier obtenu par la troncature, au chiffre du ne rang, de la valeur approchée, en base 10, d'une constante mathématique irrationnelle (partie entière incluse et virgule non prise en compte).

Exemples des plus petites occurrences :

Constante Symboles usuels Valeur approchée à 21 décimales[T 1]
(suite OEIS des chiffres de l'approximation)
Rangs « n » de fin de concaténation
ou de début de troncature
(suite OEIS de ces rangs)
Nombres premiers obtenus
(suite OEIS de ces nombres premiers)
Constante d'Apéry ζ(3) 1,202 056 903 159 594 285 399 ...
(suite A002117 de l'OEIS)
10, 55, 109, 141, ...
(suite A119334 de l'OEIS)
1 202 056 903, ...
(suite A119333 de l'OEIS)
Constante de Catalan K ou β(2) 0,915 965 594 177 219 015 054 ...
(suite A006752 de l'OEIS)
52, 276, 25477, ...
(suite A118328 de l'OEIS)
...
(suite A118329 de l'OEIS)
Constante de Néper[T 2] e 2,718 281 828 459 045 235 360 ...
(suite A001113 de l'OEIS)
1, 3, 7, 85, 1781, 2780,...
(suite A064118 de l'OEIS)
2, 271, 2 718 281 ...
(suite A007512 de l'OEIS)
Constante d'Euler-Mascheroni γ 0,577 215 664 901 532 860 606 ...
(suite A001620 de l'OEIS)
1, 3, 40, 185, 1 038, 22 610, 179 849, ...
(suite A065815 de l'OEIS)
5, 577, ...
(suite OEIS non disponible)
Constante de Glaisher-Kinkelin A 1,282 427 129 100 622 636 875 ...
(suite A074962 de l'OEIS)
7, 10, 18, 64, 71, 527, 1 992, 5 644, ...
(suite A118420 de l'OEIS)
1 282 427, ...
(suite A118419 de l'OEIS)
Constante de Golomb-Dickman λ, μ 0,624 329 988 543 550 870 992 ...
(suite A084945 de l'OEIS)
6, 27, 57, 60, 1 659, 2 508, ...
(suite A174974 de l'OEIS)
624 329, ...
(suite A174975 de l'OEIS)
Nombre d'or[T 2] φ 1,618 033 988 749 894 848 204 ...
(suite A001622 de l'OEIS)
7, 13, 255, 280, 97 241, ...
(suite A064119 de l'OEIS)
1 618 033, ...
(suite A064117 de l'OEIS)
Constante de Khinchin K 2,685 452 001 065 306 445 309 ...
(suite A002210 de l'OEIS)
1, 407, 878, 4 443, 4 981, 6 551, ...
(suite A118327 de l'OEIS)
2, ...
(suite OEIS non disponible)
Constante de Mills[T 3] θ ou A 1,306 377 883 863 080 690 468 ...
(suite A051021 de l'OEIS)
2, ?
(pas de suite OEIS disponible)
13, ...
(pas de suite OEIS disponible)
Constante pi[T 2] π 3,141 592 653 589 793 238 462 ...
(suite A000796 de l'OEIS)
1, 2, 6, 38, 16 208, 47 577, 78 073, ...
(suite A060421 de l'OEIS)
3, 31, 314 159, ...
(suite A005042 de l'OEIS)
Constante de Pythagore √2 1,414 213 562 373 095 048 801 ...
(suite A002193 de l'OEIS)
55, 97, 225, 11 260, 11 540, ...
(suite A115377 de l'OEIS)
...
(suite A115453 de l'OEIS)
Constante de Ramanujan-Soldner μ 1,451 369 234 883 381 050 283 ...
(suite A070769 de l'OEIS)
4, 144, 227, 444, 19 474, ...
(suite A122422 de l'OEIS)
1 451, ...
(suite A122421 de l'OEIS)
Constante de Théodorus √3 1,732 050 807 568 877 293 527 ...
(suite A002194 de l'OEIS)
2, 3, 19, 111, 116, 641, 5 411, ...
(suite A119344 de l'OEIS)
17, 173, ...
(suite A119343 de l'OEIS)

Notes relatives au tableau ci-dessus (les items « i » correspondent aux renvois notés « Ti » dans le tableau) :

  1. L'approximation est arrêtée par simple troncature, la dernière décimale n'est donc pas arrondie systématiquement par défaut ou par excès. Pour obtenir l'arrondi souhaité, il convient de consulter la décimale suivante, dans la suite OEIS mentionnée sous la valeur approchée de la constante.
  2. a, b et c Il ne s'agit pas ici des nombres premiers issus de parties entières de puissances d'une constante (voir par exemple e-primes en anglais : (en)mathworld.wolfram.com « MathWorld » : e-primes), définis comme parties entières premières, par défaut \lfloor c^n \rfloor ou par excès \lceil c^n \rceil, des nombres de la forme c^n, où c est une constante mathématique et n est un exposant entier naturel.
  3. Il ne s'agit pas ici du nombre premier de Mills générique « p » égal à la partie entière première de « A^(3^n) » pour certaines valeurs de « n » et dont les premières occurrences sont données par la suite A051254 de l'OEIS.

Nombre premier cubain (ou cube)[modifier | modifier le code]

Premier qui est résultat d'une des deux formules ci-après, impliquant des puissances troisièmes de x et y, d'où le nom (rôle joué par les cubes)[gv 1].

1 - Premier p de la forme (x^3 - y^3) / (x - y) , avec x = y + 1 et y \neq 0

On peut encore écrire ces nombres sous la forme :

3y^2 + 3y + 1, avec y > 0

On reconnait alors les nombres hexagonaux centrés premiers.

Exemples des plus petites occurrences :

  • De 0 à 10 000, 28 occurrences :
Entier y 2 3 4 5 7 10 11 12 14 15 18 24 25 26 28 29 31 33 35 38 39 42 43 46 49 50 53 56
Premier cubain p
de type 1
7 19 37 61 127 271 331 397 547 631 919 1 657 1 801 1 951 2 269 2 437 2 791 3 169 3 571 4 219 4 447 5 167 5 419 6 211 7 057 7 351 8 269 9 241
  • De 10 000 à ... :
Entier y 59 63 64 67 68 75 81 82 87 88 91 92 94 ...
Premier cubain p
de type 1
10 267 11 719 12 097 13 267 13 669 16 651 19 441 19 927 22 447 23 497 24 571 25 117 26 227 ...

Voir suite A002407 de l'OEIS pour davantage d'exemples, de ce type 1 équivalent à la suite des nombres hexagonaux centrés premiers.

2 - Premier p de la forme (x^3 - y^3) / (x - y) avec x = y + 2 et y \neq 0

On peut encore écrire ces nombres sous la forme :

3x^2 - 6x + 4, avec x > 2

Exemples des plus petites occurrences :

  • De 0 à 10 000, 11 occurrences :
Entier x 3 7 9 13 17 21 23 27 35 37 41
Premier cubain p de type 2 13 109 193 433 769 1 201 1 453 2 029 3 469 3 889 4 801
  • De 10 000 à ...
Entier x 59 65 69 79 83 85 87 99 113 121 127 143 147 149 153 ...
Premier cubain p de type 2 10 093 12 289 13 873 18 253 20 173 21 169 22 189 28 813 37 633 43 201 47 629 60 493 63 949 65 713 69 313 ...

Voir suite A002648 de l'OEIS pour davantage d'exemples, de ce type 2.

Nombre de Cullen premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme n . 2^n + 1, généralement noté C_n

Ces nombres croissent rapidement car peu de valeurs de n donnent des nombres p premiers[oeis 1].

Exemples des plus petites occurrences :

  • n de 1 à 1000, donnent 2 occurrences seulement

Seulement deux valeurs de « n » (1 et 141) donnent des nombres premiers dans cet intervalle :

Entier n 1 141
Cullen premier p = C_n 3 393 050 634 124 102 232 869 567 034 555 427 371 542 904 833
  • n de 1 000 à ....
Entier n 4 713 5 795 6 611 18 496 32 292 32 469 59 656 90 825 262 419 361 275 481 899 1 354 828 6 328 548 ...
Cullen premier p = C_n  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ? ...

Voir suite A005849 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre décagonal centré premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme 5(n^2 - n) + 1, généralement noté CD_n.

Exemples des plus petites occurrences :

Entier n 2 3 4 5 6 7 8 12 14 15 16 17 20 22 23 25 26 27 31 33 ...
Décagonal centré premier p = CD_n 11 31 61 101 151 211 281 661 911 1 051 1 201 1 361 1 901 2 311 2 531 3 001 3 251 3 511 4 651 5 281 ...

Voir suite A062786 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre symétrique premier[modifier | modifier le code]

Nombre diédral premier[modifier | modifier le code]

Un nombre diédral premier (en) est un nombre premier qui reste le même ou qui se transforme en un autre nombre premier lorsque'il est observé, normalement ou tête en bas, en vue directe ou en reflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments. Ce type de nombre premier tire son nom du groupe diédral des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés ; un tel groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions.

Exemples des plus petites occurrences :

2, 5, 11, 101, 181, 1 181, 1 811, 18 181, 108 881, 110 881, 118 081, 120 121, 121 021, 121 151, 150 151, 151 051, 151 121, 180 181, 180 811, 181 081, etc.

Le nombre, par ailleurs premier palindrome, 10180054 + 8×(1058567−1)/9×1060744 + 1, découvert en 2009 par Darren Bedwell, possède 180 055 chiffres en base 10 et était le plus grand nombre diédral premier connu[1].

Voir suite A134996 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre tétradique premier[modifier | modifier le code]

Premier qui reste inchangé lorsque ses chiffres sont mis tête en bas (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre) ou sont inversés par des symétries centrales.

Ces nombres premiers ne peuvent donc contenir que des chiifres 0, 1, 8.

Exemples des plus petites occurrences :

11, 101, 181, 18 181, 1 008 001, 1 180 811, 1 880 881, 1 881 881, etc.

Voir suite A068188 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Le plus grands de ces nombres premiers connu, en 2010 était : « 10180 054 + 8.R58 567 . 1060 544 + 1 », ou « Rn » est un répunit de 180 055 chiffres.

N-uplet de nombres premiers distants d'écarts constants[modifier | modifier le code]

Un n-uplet de nombres premiers est un ensemble ordonné de n nombres premiers, également appelé en anglais n-tuple ou constellation[MathWorld 5].

Couples de nombres premiers distants d'un écart constant[modifier | modifier le code]

Les séquences suivantes concernent les couples de deux nombres premiers de la forme (p, p + k), où k est un entier naturel strictement positif. Au delà des écarts k = 2 à k = 14 présentés dans les sections suivantes, les séquences peuvent être consultées sur le site de l'OEIS.

Les listes OEIS des couples de nombres premiers (p, p + k)
Écarts pairs k suites OEIS
2 à 14 cf. sections ci-après
16 non disponible
18 suite A156328 de l'OEIS
20 non disponible
22 suite A140447 de l'OEIS
24, ... , 30, ... non disponibles

Remarque : au delà de l'écart k = 2, le nombre premier p+k, n'est généralement pas le nombre premier successeur de p, dans l'ensemble de tous les nombres premiers. Autrement dit, les nombres premiers p et p+k ne sont pas adjacents dans l'ensembole de tous les nombres premiers.

Couples de nombres premiers distants d'écarts constants impairs[modifier | modifier le code]

Tous les nombres premiers étant impairs, le seul couple de nombres premiers distants d'une valeur « k » impaire doit commencer par le nombre « 2 ».

L'existence de ce couple unique n'est pas systématique. Ainsi, il n'existe aucun couple de nombres premiers « (p, p+k) » pour k = 7, 13, 19, 23, 25, 31,

En particulier :

pour « k = 1 »

Le seul couple de nombres premiers (p, p+1), c'est-à-dire le seul couple de nombres consécutifs premiers, est : (2, 3).

Lorsque le nombre 1 était encore considéré comme premier, le couple (1,2) entrait également dans cette catégorie.

pour « k = 3 »

Le seul couple de nombres premiers (p, p+3) est : (2, 5).

pour « k = 5 »

Le seul couple de nombres premiers (p, p+5) est : (2, 7).

pour « k = 7 »

Il n'existe aucun couple de nombres premiers (p, p+7) car 9 n'est pas premier.

pour « k = 9 »

Le seul couple de nombres premiers (p, p+9) est : (2, 11).

pour « k = 11 »

Le seul couple de nombres premiers (p, p+5) est : (2, 13).

pour « k = 13 »

Il n'existe aucun couple de nombres premiers (p, p+13) car 15 n'est pas premier.

etc.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 2[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers, dits « jumeaux », de la forme (p, p + 2).

Article détaillé : Nombres premiers jumeaux.

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 8 couples : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73) ;
  • de 101 à 250, 9 couples : (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241) ;
  • de 251 à 500, 7 couples : (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463) ;
  • etc.

Voir suite A001097 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 4[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers, dits « cousins », de la forme (p, p + 4).

Article détaillé : Nombres premiers cousins.

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 8 couples : (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83) ;
  • de 101 à 250, 8 couples : (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233) ;
  • de 251 à 500, 9 couples : (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (487, 491) ;
  • de 501 à 750, 5 couples : (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743),
  • de 751 à 1000, 10 couples : (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971) ;
  • etc.

Voir suite A140382 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 6[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers, dits « sexy », de la forme (p, p + 6).

Article détaillé : Nombres premiers sexy.

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 17 couples : (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67), (67, 73), (73, 79), (83, 89), (97, 103) ;
  • de 101 à 250, 13 couples : (101, 107), (103, 109), (107, 113), (131, 137), (151, 157), (157, 163), (167, 173), (173, 179), (191, 197), (193, 199), (223, 229), (227, 233), (233, 239) ;
  • de 251 à 500, 17 couples : (251, 257), (263, 269), (271, 277), (277, 283), (307, 313), (311, 317), (331, 337), (347, 353), (353, 359), (367, 373), (373, 379), (383, 389), (433, 439), (443, 449), (457, 463), (461, 467) ;
  • etc.

Voir suite A156274 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 8[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers de la forme (p, p + 8).

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 9 couples : (3, 11), (5, 13), (11, 19), (23, 31), (29, 37), (53, 61), (59, 67), (71, 79), (89, 97) ;
  • de 101 à 250, 6 couples : (101, 109), (131, 139), (149, 157), (173, 181), (191, 199), (233, 241) ;
  • de 251 à 500, 9 couples : (263, 271), (269, 277), (359, 367), (389, 397), (401, 409), (431, 439), (449, 457), (479, 487), (491, 499) ;
  • etc.

Voir suite A156320 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 10[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers de la forme (p, p + 10).

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 11 couples : (3, 13), (7, 17), (13, 23), (19, 29), (31, 41), (37, 47), (43, 53), (61, 71), (73, 83), (79, 89), (97, 107) ;
  • de 101 à 250, 9 couples : (103, 113), (127, 137), (139, 149), (157, 167), (163, 173), (181, 191), (223, 233), (229, 239), (241, 251) ;
  • de 251 à 500, 13 couples : (271, 281), (283, 293), (307, 317), (337, 347), (349, 359), (373, 383), (379, 389), (409, 419), (421, 431), (433, 443), (439, 449), (457, 467), (499, 509) ;
  • etc.

Voir suite A156320 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 12[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers de la forme (p, p + 12).

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 15 couples : (5, 17), (7, 19), (11, 23), (17, 29), (19, 31), (29, 41), (31, 43), (41, 53), (47, 59), (59, 71), (61, 73), (67, 79), (71, 83), (89, 101), (97, 109) ;
  • de 101 à 250, 13 couples : (101, 113), (127, 139), (137, 149), (139, 151), (151, 163), (167, 179), (179, 191), (181, 193), (199, 211), (211, 223), (227, 239) (229, 241), (239, 251) ;
  • de 251 à 500, 19 couples : (251, 263), (257, 269), (269, 281), (271, 283), (281, 293), (337, 349), (347, 359), (367, 379), (389, 401), (397, 409), (409, 421), (419, 431), (421, 433), (431, 443), (449, 461), (467, 479), (479, 491), (487, 499), (491, 503) ;
  • etc.

Voir suite A156323 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Couple de nombres premiers distants d'un écart constant égal à 14[modifier | modifier le code]

Couple de nombres premiers de la forme (p, p + 14).

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 10 couples : (3, 17), (5, 19), (17, 31), (23, 37), (29, 43), (47, 61), (53, 67), (59, 73), (83, 97), (89, 103)  ;
  • de 101 à 250, 7 couples : (113, 127), (137, 151), (149, 163), (167, 181), (179, 193), (197, 211), (227, 241) ;
  • de 251 à 500, 11 couples : (257, 271), (263, 277), (269, 283), (293, 307), (317, 331), (353, 367), (359, 373), (383, 397), (419, 433), (443, 457), (449, 463) ;
  • etc.

Voir suite A140446 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Triplet de nombres premiers[modifier | modifier le code]

Au sens le plus strict, triplet de la forme (p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6) dont tous les membres sont premiers.

Article détaillé : Triplet de nombres premiers.

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 9 triplets : (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103),
  • de 101 à 250, 7 triplets : (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233) ;
  • de 251 à 500, 6 triplets : (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467) .
  • de 501 à 750, 2 triplets : (613, 617, 619), (641, 643, 647),
  • de 751 à 1000, 6 triplets : (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887) ;
  • etc.

Voir suite A098420 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Quadruplet de nombres premiers[modifier | modifier le code]

Au sens le plus strict, quadruplet de la forme (p, p + 2, p + 6, p + 8) dont tous les membres sont premiers.

Article détaillé : Quadruplet de nombres premiers.

Exemples des plus petites occurrences, inférieures à 100 000 :

  • de 0 à 100, 2 quadruplets : (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) ;
  • de 100 à 1000, 3 quadruplets :(101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829) ;
  • de 1000 à 10 000, 7 quadruplets : (1 481, 1 483, 1 487, 1 489), (1 871, 1 873, 1 877, 1 879), (2 081, 2 083, 2 087, 2 089), (3 251, 3 253, 3 257, 3 259), (3 461, 3 463, 3 467, 3 469), (5 651, 5 653, 5 657, 5 659), (9 431, 9 433, 9 437, 9 439) ;
  • de 10 000 à 100 000, 26 quadruplets : (13 001, 13 003, 13 007, 13 009), (15 641, 15 643, 15 647, 15 649), (15 731, 15 733, 15 737, 15 739), (16 061, 16 063, 16 067, 16 069), (18 041, 18 043, 18 047, 18 049), (18 911, 18 913, 18 917, 18 919), (19 421, 19 423, 19 427, 19 429), (21 011, 21 013, 21 017, 21 019), (22 271, 22 273, 22 277, 22 279), (25 301, 25 303, 25 307, 25 309), (31 721, 31 723, 31 727, 31 729), (34 841, 34 843, 34 847, 34 849), (43 781, 43 783, 43 787, 43 789), (51 341, 51 343, 51 347, 51 349), (55 331, 55 333, 55 337, 55 339), (62 981, 62 983, 62 987, 62 989), (67 211, 67 213, 67 217, 67 219), (69 491, 69 493, 69 497, 69 499), (72 221, 72 223, 72 227, 72 229), (77 261, 77 263, 77 267, 77 269), (79 691, 79 693, 79 697, 79 699), (81 041, 81 043, 81 047, 81 049), (82 721, 82 723, 82 727, 82 729), (88 811, 88 813, 88 817, 88 819), (97 841, 97 843, 97 847, 97 849), (99 131, 99 133, 99 137, 99 139) ;
  • etc.

Voir suite A136162 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Quintuplet de nombres premiers[modifier | modifier le code]

Au sens le plus strict, quintuplet de la forme (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) ou (p - 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) dont tous les membres sont premiers.

Article détaillé : Quintuplet de nombres premiers.

Exemples des plus petites occurrences, inférieures à 100 000 :

Les plus petits quintuplets de nombres premiers de type 1 (ajout d'un terme « p+12 » à droite d'un quadruplet) sont :

  • de 0 à 100, 2 occurrences : (5, 7, 11, 13, 17), (11, 13, 17, 19, 23) ;
  • de 101 à 250, 1 occurrence : (101, 103, 107, 109, 113) ;
  • de 251 à 500, 0 occurrence :
  • de 501 à 1 000, 0 occurrence :
  • de 1 001 à 2 500, 1 occurrence : (1 481, 1 483, 1 487, 1 489, 1 493) ;
  • de 2 501 à 5 000, 0 occurrence :
  • de 5 001 à 10 000, 0 occurrence :
  • de 10 001 à 25 000, 4 ooccurrences : (16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073), (19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433), (21 011, 21 013, 21 017, 21 019, 21 023), (22 271, 22 273, 22 277, 22 279, 22 283) ;
  • de 25 001 à 50 000, 1 occurrence : (43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793) ;
  • de 50 001 à 100 000, 1 occurrence : (55 331, 55 333, 55 337, 55 339, 55 343) ;
  • etc.

Les plus petits quintuplets de nombres premiers de type 2 (ajout d'un terme « p-4 » à gauche d'un quadruplet) sont :

  • de 0 à 100, 2 occurrences : (7, 11, 13, 17, 19), (97, 101, 103, 107, 109) ;
  • de 101 à 250, 0 occurrence :
  • de 251 à 500, 0 occurrence :
  • de 501 à 1 000, 0 occurrence :
  • de 1 001 à 2 500, 1 occurrence : (1 867, 1 871, 1 873, 1 877, 1 879) ;
  • de 2 501 à 5 000, 1 occurrence : (3 457, 3 461, 3 463, 3 467, 3 469) ;
  • de 5 001 à 10 000, 1 occurrence : (5 647, 5 651, 5 653, 5 657, 5 659) ;
  • de 10 001 à 25 000, 3 occurrences : (15 727, 15 731, 15 733, 15 737, 15 739), (16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069), (19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429) ;
  • de 25 001 à 50 000, 1 occurrence : (43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789) ;
  • de 50 001 à 100 000, 2 occurrences : (79 687, 79 691, 79 693, 79 697, 79 699), (88 807, 88 811, 88 813, 88 817, 88 819) ;

Voir :

  • suite A022006 de l'OEIS, pour les premiers termes « p » des quintuplets de nombres premiers, de type 1.
  • suite A022007 de l'OEIS, pour les premiers termes « p - 4 » des quintuplets de nombres premiers, de type 2.

Sextuplet de nombres premiers[modifier | modifier le code]

Au sens le plus strict, sextuplet de la forme (p-4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) dont tous les membres sont premiers.

Article détaillé : Sextuplet de nombres premiers.

Exemples des plus petites occurrences, inférieures à 100 000 :

  • de 0 à 100, 2 occurrences : (7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113),
  • de 101 à 250, 1 occurrence :
  • de 251 à 500, 0 occurrence :
  • de 501 à 1 000, 0 occurrence :
  • de 1 001 à 2 500, 0 occurrence :
  • de 2 501 à 5 000, 0 occurrence :
  • de 5 001 à 10 000, 0 occurrence :
  • de 10 001 à 25 000, 2 occurrences : (16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073), (19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433) ;
  • de 25 001 à 50 000, 1 occurrence : (43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793) ;
  • de 50 001 à 100 000, 0 occurrence :
  • etc.

Pas de liste OEIS disponible.

Nombre d'Eisenstein premier[modifier | modifier le code]

Entier d'Eisenstein, irréductible et réel.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 311, 317, 347, 353, 359, 383, 389, 401, 419, 431, 443, 449, 461, 467, 479, 491, etc.

Voir suite [[OEIS:|]] de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier équilibré[modifier | modifier le code]

Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Exemples des plus petites occurrences :

  • Distance de 2 : 5 (entre 3 et 7),
  • Distance de 6 : 53 (entre 47 et 59), 157 (entre 151 et 163), 173 (entre 167 et 179), 257 (entre 251 et 263), 263 (entre 257 et 269), 373 (entre 367 et 379), 563 (entre 557 et 569), 593 (entre 587 et 599), 607 (entre 601 et 613), 653 (entre 647 et 659), 733 (entre 727 et 739), 947 (entre 941 et 953), 977 (entre 971 et 983), 1 103 (entre 1097 et 1109), 1123 (entre 1121 et 1129),...
  • Distance de 12 : 211 (entre 199 et 223),
  • ...
  • Distance de 6 090 : pn = 197 418 203 × 225 000 - 1 (entre pn-1 = pn-6090</math> et pn+1 = pn+6090</math>)

Voir suite A006562 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre étoilé premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « 6n(n - 1) + 1 ».

Exemples des plus petites occurrences : 13 (n=2), 37 (n=3), 73 (n=4), 181 (n=6), 337 (n=8), 433, 541, 661, 937, 1 093, 2 053, 2 281, 2 521, 3 037, 3 313

Voir suite A083577 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre d'Euclide premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « pn# + 1 », où « p » est lui-même premier.

Exemples des plus petites occurrences : 3, 7, 31, 211, 2 311, etc.

Voir suite A006862 de l'OEIS pour davantage d'exemples (« 2 » ne fait plus partie de cette suite depuis que « 1 » n'est plus considéré comme premier).

Nombre de Fermat premier[modifier | modifier le code]

Premier « p », souvent noté « Fn », de la forme « 22n + 1 », avec « n » entier naturel.


Exemples des plus petites et seules occurrences reconnues premières de « Fn  » :

Entier n 0 1 2 3 4 5
Nombre de Fermat premier F_n 3 5 17 257 65 537 Nombre non premier : 4 294 967 297=641*6 700 417

Voir la suite A000215 de l'OEIS pour davantage d'exemples de nombres de Fermat (premiers ou non).

Ces nombres de Fermat premiers, ainsi que les nombres de Fermat généralisés premiers, sont des cas particuliers de la sous-catégorie de nombres presque carrés premiers correspondant à k = -1 (cf. supra).

Nombre premier de Fibonacci[modifier | modifier le code]

Premiers dans la suite de Fibonacci.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1 597, 28 657, 514 229, 433 494 437, 2 971 215 073, etc.

Voir suite A005478 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre fortuné premier[modifier | modifier le code]

Premier noté F_k tel que F_k = q_k - E_k + 1, où E_k = 1 + p_k# est le nombre d'Euclide correspondant au ke nombre premier p_k et où q_k est le nombre premier immédiatement supérieur à E_k.

Une fois la suite ordonnée et débarrassée de ses doublons, les plus petites occurrences de F_k : 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 107, etc.

Voir suite A005235 de l'OEIS et suite A046066 de l'OEIS pour davantage d'exemples, respectivement bruts de calcul et ordonnés puis débarrassés des doublons.

Il a été conjecturé par Reo Fortune que tous les nombres fortunés répondant à la formule ci-dessus sont systématiquement premiers. Cette conjecture reste à démontrer.

Entier de Gauss premier[modifier | modifier le code]

Premier qui est aussi élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss.

Autrement dit, dans ce cas particulier des nombres entiers : Premier congru à 3 modulo 4.

Exemples des plus petites occurrences : 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499, etc.

Voir suite A002145 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Genocchi premier[modifier | modifier le code]

Premier Gn qui vérifie la relation 
\frac{2t}{e^t+1}=\sum_{n=1}^{\infty} G_n\frac{t^n}{n!}
.

Toutes les occurrences : 17.

En effet, le seul nombre de Genocchi premier est 17 (et -3 si les nombres premiers négatifs sont inclus).

Nombre harmonique premier[modifier | modifier le code]

Il existe, dans la littérature mathématique, deux types de nombres premiers qualifiés ainsi mais correspondant à des définitions différentes :

1er type de nombre harmonique premier[modifier | modifier le code]

Premier p pour lesquels il n'y a pas de solution à H_k \equiv 0\pmod{p} ni à H_k \equiv -\omega\,\!_p\pmod{p} pour 1 \leq k \leq p-2, où \omega\,\!_p est le quotient de Wolstenholme[2].

Les plus petites occurrences de ce type sont : 5, 13, 17, 23, 41, 67, 73, 79, 107, 113, 139, 149, 157, 179, 191, 193, etc.

Voir la suite A092101 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

2e type de nombre harmonique premier[modifier | modifier le code]

Premier trouvé dans les numérateurs des nombres harmoniques d'ordre n de 1 : H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^1}

Les plus petites occurrences de ce type sont : 3, 11, 137, 761, 7 129, etc.

Voir la suite A067657 de l'OEIS et la suite A056903 de l'OEIS pour respectivement, davantage d'exemples et les valeurs de n correspondantes.

Nombre heptagonal centré premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme (7n2 - 7n + 2) / 2.

Exemples des plus petites occurrences : 43, 71, 197, 463, 547, 953, 1 471, 1 933, 2 647, 2 843, etc.

Voir suite A144974 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre heureux premier[modifier | modifier le code]

Premier qui, lorsqu'on somme les carrés de chacun de ses chiffres en base dix, puis les carrés des chiffres de ce résultat et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un nombre à un seul chiffre, donne 1 pour résultat.

Exemples des plus petites occurrences : 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487, 563, etc.

Voir suite A035497 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre hexagonal centré premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme 3n2 + 3n + 1 avec n > 0.

Exemples des plus petites occurrences : 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1 657,...

C'est également un nombre premier cubain de type 1 (cf. supra)

Voir suite A002407 de l'OEIS pour davantage d'exemples de cette catégorie, équivalente à la suite des nombres cubains premiers de type 1.

Nombre premier de Higgs[modifier | modifier le code]

Premier p pour lequel p – 1 divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs (en) inférieurs.

Les vingt premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79 et 101.

Voir suite A007459 de l'OEIS pour les 1 000 premiers.

Nombres pairs et impairs premiers[modifier | modifier le code]

Nombres premiers impairs[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « 2n + 1 ».

Exemples des plus petites occurrences : 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, etc.

Il s'agit de l'ensemble des nombres premiers à l'exception de 2.

Nombre premier pair[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « 2n ».

Unique occurrence : 2 est le seul nombre premier pair.

Nombre premier irrégulier[modifier | modifier le code]

Nombre premier impair p qui divise la nombre de classes de l'ensemble des racines pième de l'unité.

Exemples des plus petites occurrences : 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, etc.

Voir suite A000928 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Kynea premier[modifier | modifier le code]

Premier « p », noté généralement « k(n) », de la forme « k(n) = (2n + 1)2 - 2 », qui peut encore s'écrire « k(n) = 4n + 2(n+1) - 1 » , avec « n » entier naturel.

Exemples des plus petites occurrences :

Entier n[Ky 1] 0 1 2 3 (4) 5 (6 ; 7) 8 9 (10 ; 11) 12 (13 ; 14) 15 (16) 17 18 (19 ; 20) 21 (22)
Premier p[Ky 2] 2 7 23 79 - 1 087 ... 66 047 263 167 ... 16 785 407 ... 1 073 807 359 - 17 180 131 327 68 720 001 023 ... 4 398 050 705 407 -

Notes (les repères « i » correspondent aux revois « Ky i » ) :

  1. Les valeurs entre parenthèses de l'entier « ( n ) », isolées ou regroupées, ne donnent pas de nombre de Kynea « k(n) » premier.
  2. Les tirets et les points de suspension correspondent à un ou plusieurs nombre de Kynea non premiers.

Voir suite A091514 de l'OEIS et suite A091513 de l'OEIS pour davantage d'exemples de « p » et « n » respectivement.

Ces nombres de Kynea premiers, ainsi que les nombres de Carol premiers (cf. supra) sont des cas particuliers de la sous-catégorie de nombres presque carrés premiers correspondant à k = 2 (cf supra).

Nombre de Leyland premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme x^y + y^x, avec 1 < x <= y.

Exemples des plus petites occurrences : 17, 593, 32 993, 2 097 593, etc.

Voir la suite A094133 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier long[modifier | modifier le code]

Premier « p » pour lequel, dans une base « b » donnée, « (bp - 1 - 1) / p » donne un nombre cyclique.

Exemples des plus petites occurrences, pour la base b = 10 : 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, etc.

Voir suite A001913 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Lucas premier[modifier | modifier le code]

Premier dans la suite des nombres de Lucas : 1=\mathcal{L}_{1} ; 2=\mathcal{L}_{0} ; \mathcal{L}_{n+2}=\mathcal{L}_{n+1}+\mathcal{L}_n

Exemples des plus petites occurrences :

  • de 0 à 100, 6 occurrences : 2, 3, 7, 11, 29, 47 ;
  • de 100 à 1 000, 2 occurrences : 199, 521 ;
  • de 1 001 à 10 000, 3 occurrences : 2 207, 3 571, 9 349 ;
  • etc.

Voir suite A005479 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Markov premier[modifier | modifier le code]

Premier p pour lequel existent des entiers x et y tels que x^2 + y^2 + p^2 = 3xyp

Exemples des plus petites occurrences : 2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1 597, 2 897, etc.

Voir suite A178444 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Mersenne premier[modifier | modifier le code]

Nombre simple de Mersenne premier[modifier | modifier le code]

Premier noté Mp, de la forme 2^p - 1, où p est lui-même premier (condition nécessaire mais non suffisante). Dans leur représentation en base 2, ces nombres sont des répunits.

Exemples des plus petites occurrences :

p 2 3 5 7 ...
Mp 3 7 31 127 ...

Voir suite A000668 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre double de Mersenne premier[modifier | modifier le code]

Premier, noté M_P ou M_{M_p}, de la forme 2^{2^p-1}-1, où p et P = 2^p - 1 sont eux-mêmes premiers.

On le note généralement M_{M_p} car 2^p - 1 est lui même le nombre de Mersenne M_p .

Exemples des plus petites occurrences :

p 2 3 5 7 ...
Mp 3 7 31 127 ...
P = M_{M_p} 7 127 2 147 483 647 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 ...

Ces nombres doubles de Mersenne premiers progressent plus rapidement que les nombres de Mersenne premiers (cf. supra).

Voir suite A077586 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Catalan-Mersenne premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme c_n=2^{c_{n-1}} - 1, avec c_0 = 2.

Les premières occurrences c_i de cette suite sont (voir suite A077586 de l'OEIS) :

Premier p - - 2 3 5 7 ...
Mp - - 3 7 31 127 ...
P = M_{M_p} - - 7 127 2 147 483 647 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 ...
Indice i = 0 1 2 3 - 4 ...
c_i = 2 3 7 127 - 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 ...

Il n'est pas encore prouvé que c_5 soit aussi premier.

Cette suite constitue un sous-ensemble infini des nombres doubles de Mersenne. Les nombres de Catalan-Mersenne premiers progressent donc encore plus vite que les doubles de Mersenne premiers, qui eux-mêmes progressent plus rapidement que les nombres de Mersenne premiers (cf supra).

Voir suite A007013 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier de Mills[modifier | modifier le code]

Premier de la forme \theta^{3^{n}}, où \theta est la constante de Mills, dont la valeur approximative est \theta=1,30637788386308069046..., selon l'hypothèse de Riemann.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 11, 1 361, 2 521 008 887, 16 022 236 204 009 818 131 831 320 183, etc.

Voir suite A051254 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Padovan premier[modifier | modifier le code]

Premier dans la suite de Padovan P(0)=P(1)=P(2)=1, P(n) = P(n - 2) + P(n - 3).

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 37, 151, 3 329, 23 833, etc.

Voir suite A100891 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier palindrome[modifier | modifier le code]

Premier restant lui-même quand ses chiffres sont lus à l'envers.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991, etc.

Voir suite A002385 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constante[modifier | modifier le code]

Premier p égal à \lfloor c^n \rfloor ou \lceil c^n \rceil, partie entière, respectivement par défaut ou par excès, d'une constante c élevée à une puissance n entière positive.

Voir aussi les nombres premiers issus de troncatures de constantes, plus haut dans cet article.

Partie entière d'une puissance de la constante de Néper[modifier | modifier le code]

Premier égal à la partie entière, respectivement par défaut \lfloor e^n \rfloor ou par excès \lceil e^n \rceil, des nombres de la forme e^n, où e est la constante de Néper (e = 2,718 28. ...).

Exemples des plus petites occurrences, par défaut 
2, 7, 65 659 969, etc.

correspondant aux valeurs de l'exposant « n » :

1, 2, 18, etc.

Voir suite A050809 de l'OEIS et suite A050808 de l'OEIS pour davantage d'exemples, respectivement de tels nombres premiers et exposants.


Exemples des plus petites occurrences, par excès 
3, 149, 1 097, 22 027, etc.

correspondant aux valeurs de l'exposant « n » :

1, 5, 7, 10

Voir suite A118840 de l'OEIS et suite A059303 de l'OEIS pour davantage d'exemples, respectivement de tels nombres premiers et exposants.

Partie entière d'une puissance du nombre d'or[modifier | modifier le code]

Premier égal à la partie entière, respectivement par défaut \lfloor \phi^n \rfloor ou par excès \lceil \phi^n \rceil, des nombres de la forme \phi^n, où \phi est le nombre d'or (\phi = 1,618 03. ... ).

Exemples des plus petites occurrences, par défaut 
2, 11, 17, 29, 199, 521, 3 571, 9 349, etc.

correspondant aux valeurs de l'exposant « n » :

2, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, etc.

Voir suite A118839 de l'OEIS et suite A059791 de l'OEIS pour davantage d'exemples, respectivement de tels nombres premiers et exposants.


Exemples des plus petites occurrences, par excès 
2, 3, 5, 7, 47, 2 207, etc.

correspondant aux valeurs de l'exposant « n » :

1, 2, 3, 4, 8, 16 etc.

Voir suite A118842 de l'OEIS et suite A118841 de l'OEIS pour davantage d'exemples de tels nombres premiers et exposants.

Partie entière d'une puissance de pi[modifier | modifier le code]

Premier égal à la partie entière, respectivement par défaut \lfloor \pi^n \rfloor ou par excès \lceil \pi^n \rceil, des nombres de la forme \pi^n, où \pi est la constante égale au quotient du périmètre de tout cercle par son diamètre (\pi = 3,141 59. ...).

Exemples des plus petites occurrences, par défaut 
3, 31, 97, 924 269, etc.

correspondant aux valeurs de l'exposant « n » :

1, 3, 4, 12, etc.

Voir suite A077547 de l'OEIS et suite A059792 de l'OEIS pour davantage d'exemples, respectivement de tels nombres premiers et exposants.


Exemples des plus petites occurrences, par excès 
307, 261 424 513 284 461, 5 612 9192 858 827 520 816 193 436 882 886 842 322 337 671, etc.

correspondant aux valeurs de l'exposant « n » :

1, 2, 3, etc.

Voir suite A118843 de l'OEIS et suite A111937 de l'OEIS pour davantage d'exemples de tels nombres premiers et exposants.

Nombre de Pell premier[modifier | modifier le code]

Premier dans la suite de Pell P0 = 0, P1 = 1, Pn = 2Pn - 1 + Pn - 2.

Exemples des plus petites occurrences :

2, 5, 29, 5 741, 33 461, etc.

Voir suite A086383 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier permutable[modifier | modifier le code]

Premier dont toute permutation des chiffres est première. C'est en particulier le cas des répunits premiers.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, 1 111 111 111 111 111 111, 11 111 111 111 111 111 111 111, etc.

Voir suite A003459 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Perrin premier[modifier | modifier le code]

Premier dans la suite de Perrin P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2, P(n) = P(n - 2) + P(n - 3).

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, etc.

Voir suite A074788 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier de Pierpont[modifier | modifier le code]

Premier de la forme 2u 3v + 1 pour deux entiers u,v ≥ 0.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1 153, 1 297, 1 459, 2 593, 2 917, 3 457, 3 889, 10 369, 12 289, 17 497, 18 433, 39 367, 52 489, 65 537, 139 969, 147 457, 209 953, 331 777, 472 393, 629 857, 746 497, 786 433, 839 809, 995 329, etc.

Voir suite A005109 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Pillai premier (en)[modifier | modifier le code]

Premier p pour lequel il existe n > 0 tel que p divise n! + 1 et n ne divise pas p - 1.

Exemples des plus petites occurrences : 23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, etc.

Voir suite A063980 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Proth premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme k \cdot 2^n + 1 avec k pair et k < 2^n

Exemples des plus petites occurrences de « p » :

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 489, 577, 641, 673, 769, 929, 1 153, 1 217, 1 409, etc.

Voir suite A080076 de l'OEIS pour davantage d'exemples de « p ».

Écart de puissances premier[modifier | modifier le code]

Premier p de la forme n^n - (n-1)^{(n-1)}, où n est un entier naturel.

Exemples des plus petites occurrences de « p » :

3, 23, 229, etc.

correspondant aux entiers « n » :

2, 3, 4, etc.

Voir suite A072164 de l'OEIS pour davantage d'exemples de valeurs « n », donnant de tels nombres premiers « p ».

Nombre premier de Pythagore[modifier | modifier le code]

Premier de la forme 4n + 1.

Exemples des plus petites occurrences : 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, etc.

Voir suite A002144 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.

Exemples des plus petites occurrences : 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, etc.

Voir suite A104272 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier régulier[modifier | modifier le code]

Nombre premier p ne divisant pas le nombre de classes de l'ensemble des racines pième de l'unité.

Exemples des plus petites occurrences : 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 239, 241, 251, 269, 277, 281, 313, 317, 331, 337, 349, 359, 367, 373, 383, 397, 401, etc.

Voir suite A007703 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Reimerp[modifier | modifier le code]

Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés (« reimerp » vient du mot « premier » épelé à l'envers).

Exemples des plus petites occurrences : 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, etc.

En particulier, tous les nombres premiers permutables non palindromes sont des reimerps.

Voir suite A006567 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Répunit[modifier | modifier le code]

Premier ne contenant que des chiffres 1, en base 10.

Exemples des plus petites occurrences : 11, 1 111 111 111 111 111 111, 11 111 111 111 111 111 111 111, etc.

Voir suite A004022 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Smarandache-Wellin premier[modifier | modifier le code]

Premiers obtenus par concaténation des « n » premiers nombres premiers, écrits en base 10.

Exemples des plus petites occurrences :

Indice ou rang n 1 2 3 4 ...
Nombre de Smarandache-Wellin premier 2 23 - 2 357 ...
Observations
  • Le tiret indique que le nombre de Smarandache-Wellin correspondant
    à ce rang n'est pas premier et n'est donc pas mentionné.
  • Le plus grand nombre de Smarandache-Wellin premier connu à ce jour
    correspond au rang 1429 et contient au total 5719 chiffres.

Voir suite A069151 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Solinas premier[modifier | modifier le code]

Premier « p » de la forme « 2a ± 2b ± 1 », où « 0 < b < a ».

Ces nombres, inspirés des nombres de Mersenne, ont été étudiés par Jerome A. Solinas[3], d'où leur nom.

Les cinq premières paires de nombres premiers jumeaux sont aussi des nombres premiers de Solinas.

Exemple des plus petites occurrences :

Couple (a,b) (3,2) (3,2) (4,3) (3,2) (3,2) (5,4) (4,2) (4,3) (5,2) (6,5) (5,2) (5,3) (5,4) (6,2) (6,2) ...
Nombre de Solinas premier 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 47 59 61 ...
Observations
  • Plusieurs nombres de Solinas peuvent avoir le même couple antécédent (a,b) du fait des différents signes d'opération possibles (±)
  • Inversement mais pour la même raison, plusieurs couples (a,b) pourraient donner le même nombre de Solinas premier.

Voir la suite A165255 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Remarques complémentaires :

  • 2 n'est pas un nombre de Solinas.
  • Les premiers nombres impairs premiers à ne pas être des nombres de Solinas sont 43, 53, 83, 89, 101, 103, 107, 109, etc.

Nombre premier de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Premier p tel que 2p + 1 soit aussi premier (voir suite A005384 de l'OEIS). C'est la définition réciproque d'un nombre premier sûr (cf. supra).

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229, 1 289, 1 409, 1 439, 1 451, 1 481, 1 499, 1 511, 1 559, etc.

Voir suite A005384 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier de Stern[modifier | modifier le code]

Premier n'étant pas la somme d'un nombre premier plus petit et de deux fois le carré d'un entier non-nul.

Les seuls nombres premiers de Stern connus sont (voir suite A042978 de l'OEIS) : 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1 187, 1 493.

Ce sont probablement les seuls (conjecture).

Voir suite A042978 de l'OEIS.

Nombre premier super-singulier[modifier | modifier le code]

Premier répondant à une règle géométrique particulière dans le demi-plan supérieur du plan complexe.

Il est aussi possible de définir les nombres premiers super-singuliers à la manière de la théorie des nombres, en utilisant les courbes elliptiques super-singulières définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur j-invariant dans GF(p).

Il existe exactement quinze nombres premiers super-singuliers (voir suite A002267 de l'OEIS):

Seules occurrences : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

L'ensemble des nombres premiers super-singuliers est un sous-ensemble fini de l'ensemble des nombres premiers de Chen.

Voir suite A002267 de l'OEIS.

Nombre premier sûr[modifier | modifier le code]

Premier p tel que (p - 1) / 2 soit aussi premier (voir suite A005385 de l'OEIS). C'est la définition réciproque d'un nombre premier de Sophie Germain (cf. infra).

Exemples des plus petites occurrences : 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1 019, 1 187, 1 283, 1 307, 1 319, 1 367, 1 439, 1 487, 1 523, 1 619, 1 823, 1 907, 2 027, 2 039, 2 063, etc.

Voir suite A005385 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Thebit premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « 3 · 2n - 1 ». Remarque : Dans leur représentation en base 2, ces nombres sont tous de la forme "10111...111" (un 1, un 0, suivis de un ou plusieurs 1)

Exemples des plus petites occurrences :

Exposant n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ...
Nombre de Thebit premier 2 5 11 23 47 - 191 383 - - - 6 143 - - - - - - 786 431 ...
Observations
  • Le tiret indique que le nombre de Thebit correspondant
    à ce rang n'est pas premier et n'est donc pas mentionné.
  • Le plus grand nombre de Thebit premier connu à ce jour
    correspond à l'exposant 4 235 414 et contient au total ? chiffres.

Voir suite A007505 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre triangulaire centré premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme « (3n² + 3n + 2) / 2 ».

Exemples des plus petites occurrences : 19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, etc.

Voir suite A125602 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre premier tronquable[modifier | modifier le code]

Nombre premier tronquable à droite[modifier | modifier le code]

Premier le restant lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés.

Exemples des plus petites occurrences : 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, etc.

Le plus grand nombre premier tronquable à droite est 73 939 133 en 83e et dernière position dans la suite.[réf. nécessaire]

Voir suite A024770 de l'OEIS pour la suite complète.

Nombre premier tronquable à gauche[modifier | modifier le code]

Premier le restant lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés.

Exemples des plus petites occurrences : 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113...

Selon Angell et Godwin, le plus grand nombre premier tronquable à gauche est 357 686 312 646 216 567 629 137, en 4260e position dans cette suite.[réf. nécessaire]

Voir suite A024785 de l'OEIS pour la suite complète.

Nombre premier unique[modifier | modifier le code]

Premier « p » pour lequel la longueur de la période du développement décimal de « 1 / p » est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Exemples des plus petites occurrences : 3, 11, 37, 101, 9 091, 9 901, 333 667, etc.

Voir suite A040017 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Wagstaff premier[modifier | modifier le code]

Premier « p » de la forme « (2n + 1) / 3 ».

Dans leur représentation en base 2, ces nombres sont tous de la forme « 1010...1011 » (une succession de 1 et de 0 se terminant par 11).

Exemples des plus petites occurrences : 3, 11, 43, 683, 2 731, 43 691, 174 763, 2 796 203, etc.

Voir suite A000979 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Wall-Sun-Sun premier[modifier | modifier le code]

Premier p > 5 tel que p2 divise F(p-(p|5))\,,

F(n) est le n-ième nombre de Fibonacci et (a|b)\, est le symbole de Legendre de a et b.

Aucun nombre premier de Wall-Sun-Sun n'est connu à cette date ; s'il en existe, il a été montré en 2007 qu'ils doivent être supérieurs à 1014[4].

En décembre 2012, aucun tel nombre premier n'avait été trouvé jusqu'à 1,5.1016[5]. Cependant, il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wall-Sun-Sun, mais la conjecture reste non prouvée[6].

Article détaillé : Nombre de Wall-Sun-Sun.

Nombre de Wedderburn-Etherington premier[modifier | modifier le code]

Premier qui peut représenter, en théorie des graphes, le nombre d'arbres binaires, de « n » nœuds, tels qu'aucune arête n'est adjacente à plus de trois autres (on ne considère pas les arêtes racines).

Exemples des plus petites occurrences : 2, 3, 11, 23, 983, 2 179, 24 631, 3 626 149, 253 450 711, etc.

Voir suite A136402 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Nombre de Wieferich premier[modifier | modifier le code]

Nombre simple de Wieferich premier[modifier | modifier le code]

Premier « p » tel que « p2 » divise « 2p - 1 - 1 »

Exemples des plus petites occurrences : 1 093, 3 511, etc.

Ce sont les seules connues à ce jour, sans qu'on puisse affirmer qu'il n'y en ait pas d'autre.

Voir suite A001220 de l'OEIS pour davantage d'explications.

Paire de nombres de Wieferich premiers[modifier | modifier le code]

Paire de nombres premiers p et q tels que : p^{q-1} \equiv 1 modulo q^2 et q^{p-1} \equiv 1 modulo p^2.

Les seules paires connues sont : (2, 1093), (3, 1006003), (5 , 1645333507), (83, 4871), (911, 318917), et (2903, 18787)[MathWorld 6].

Voir suite [[OEIS:|]] de l'OEIS pour davantage d'explications.

Nombre de Wilson premier[modifier | modifier le code]

Premier p pour lequel p² divise (p - 1)! + 1

Exemples des plus petites occurrences : 5, 13, 563, etc.

Ce sont les seuls connus, bien que leur suite soit réputée infinie.

Voir suite A007540 de l'OEIS pour davantage d'explications.

Nombre de Wolstenholme premier[modifier | modifier le code]

Premier « p » pour lequel le coefficient binomial {{2p - 1}\choose{p - 1}} \equiv 1 \pmod{p^4}.

Exemples des plus petites occurrences : 16 843, 2 124 679, ...

Ce sont les deux seuls connus et il n'en existe pas d'autres plus petits que 109[4],[7].

Voir suite A088164 de l'OEIS pour davantage d'explications.

Nombre de Woodall premier[modifier | modifier le code]

Premier de la forme n · 2n - 1.

Exemples des plus petites occurrences : 7, 23, 383, 32 212 254 719, 2 833 419 889 721 787 128 217 599, etc.

Voir suite A050918 de l'OEIS pour davantage d'exemples.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes générales[modifier | modifier le code]

Néant

Site de l'OEIS[modifier | modifier le code]

  1. (en)oeis.org OEIS A005849 - Prime Cullen numbers: numbers n such that n*2^n + 1 is prime.

Site mersenne.org du GIMPS[modifier | modifier le code]

Néant

Site de l'University of Arizona[modifier | modifier le code]

Néant

Site de l'University of Tennessee in Martin[modifier | modifier le code]

Néant

Site de l'University of Utah[modifier | modifier le code]

Néant

Site de Gérard Villemin[modifier | modifier le code]

  1. villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : nombres premiers cubes.

Site de Landon Curt Noll[modifier | modifier le code]

Néant

Site MathWorld de Eric Weisstein[modifier | modifier le code]

  1. (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Integer Sequence Primes.
  2. (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Self Number.
  3. (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Good primes.
  4. (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Constant Primes.
  5. (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Prime constellation.
  6. (en)mathworld.wolfram.com MathWorld : Double Wieferich Prime Pair.

Autres références[modifier | modifier le code]

  1. (en)Chris Caldwell, The Top Twenty: Palindrome.
  2. (en)DOI:10.1080/10586458.1994.10504298
  3. (en)cacr.uwaterloo.ca Centre for Applied Cryptographic Research (CACR) at the University of Waterloo : « Generalized Mersenne numbers », par Jerome A Solinas, CACR Visitor Jan.-June 1999.
  4. a et b (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Mathematics of Computation, vol. 76, no 260,‎ 2007, p. 2087–2094 (DOI 10.1090/S0025-5718-07-01955-2, lire en ligne)
  5. (en)www.primegrid.com Wall–Sun–Sun Prime Search project at PrimeGrid.
  6. (en)Jiří Klaška, « Short remark on Fibonacci−Wieferich primes », Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, vol. 15, no 1,‎ 2007, p. 21–25 (lire en ligne).
  7. (en) Courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann, mars 2004

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en) www.utm.edu « Prime Pages » (Listes de nombres premiers)
  • (en) www.rsok.com « Some Prime Numbers » (Interface vers une liste des premiers 98 millions de nombres premiers, inférieurs à 8 000 000 000)
  • (en) www.bigprimes.net « Bigprimes.net » (Les 1 milliard 400 millions premiers nombres premiers)
  • (en) mathworld.wolfram.com « MathWorld » : Number Theory > Prime Numbers > Prime Number Sequences
  • (fr) nombrespremiersliste.free.fr « Les nombres premiers » (Liste simple des nombres premiers jusqu'à 1 000 000 000)