Représentation induite d'un groupe fini

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En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la restriction (en). Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.

Cet article traite le cas des groupes finis.

Définitions et exemples[modifier | modifier le code]

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

Définitions[modifier | modifier le code]

  • La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ=IndHGθ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
    • θ est une sous-représentation de la restriction ResHG(ρ) de ρ à H ;
    • pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :
      \hom_G(\mathrm{Ind}_H^G\theta,\sigma)\overset\sim\to\hom_H(\theta,\mathrm{Res}^G_H\sigma).

Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.

  • Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore IndHG(ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

Construction[modifier | modifier le code]

Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module

V=K[G]\otimes_{K[H]}W.

Alors ρ=IndHGθ, puisque :

  • W=K[H]⊗K[H]W est bien un sous-K[H]-module de V ;
  • pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :
\hom_{K[G]}(V,E)\overset\sim\to\hom_{K[H]}(W,E)

qui peut se « déduire de la formule Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A⊗B,C) » (Serre, p. II - 7) ou se détailler de façon plus élémentaire (Serre, p. II - 6) en vérifiant la bijectivité l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

  • Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à IndHGθ si et seulement si :
    • W est un sous- K[H]-module de V ;
    • V=⊕c∊G/H cW, où la notation cW signifie : ρs(W) pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel ρs(W) ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH=c=sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que ρt(W)=ρsh(W))=ρs(W).)
  • Pour toute sous-représentation θ' de θ, IndHG(θ') est une sous-représentation de IndHG(θ).
  • Pour toutes représentations θ1 et θ2 de H, on a : IndHG1⊕θ2)=(IndHGθ1)⊕(IndHGθ2).

Caractère[modifier | modifier le code]

On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :

  • Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction IndHG (f ) est définie par :
\forall t\in G\quad\mathrm{Ind}_H^G f(t)=\sum_{c\in C\atop c^{-1}tc\in H}f(c^{-1}tc).

Réciprocité de Frobenius[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Réciprocité de Frobenius.

On suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :

  • Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :
<\mathrm{Ind}_H^G \;\psi\; |\; \chi>_G=<\psi\; |\;\mathrm{Res}_H^G\; \chi>_H

Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

Critère d'irréductibilité de Mackey[modifier | modifier le code]

On suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.

Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, Hs désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et θs désigne la représentation sur W de ce sous-groupe Hs = sHs-1H définie par :

\forall u \in H_s\quad \theta^s(u)=\theta(s^{-1}us).

Le critère s'énonce de la manière suivante :

  • La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à Hs est disjointe de θs.

On en déduit le corollaire suivant :

  • Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des θs, pour s ∉ H.

Notes et références[modifier | modifier le code]