Représentation duale

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En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V.

  • Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par[1] :
    pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de ρ(g-1).
  • Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie \mathfrak g, alors ρ* est la représentation de \mathfrak g définie par[2] :
    pour tout élément u de \mathfrak g, ρ*(u) est la transposée de - ρ(u).

Pour une représentation unitaire (en), la représentation duale est équivalente à la représentation conjuguée.

Généralisations[modifier | modifier le code]

  • À partir de deux représentations (ρ1,V1) et (ρ2,V2) d'un groupe G, on définit une représentation Hom(ρ12)=ρ de G sur Hom(V1,V2) en posant[3] :
    pour tout élément g de G et tout élément f de Hom(V1,V2), ρ(g)(f)=ρ2(g)∘f∘ρ1(g-1).
  • Un module sur un anneau (vu comme représentation de cet anneau sur un groupe abélien) n'a pas de représentation duale en général, mais un module sur une algèbre de Hopf en a une.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dual representation » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) William Fulton et Joe Harris, Representation Theory : A First Course [détail des éditions], p. 4
  2. Fulton Harris, p. 111
  3. A. Chambert-Loir, Introduction aux groupes et algèbres de Lie, cours de master 2 à l'université de Rennes 1 (2004-2005), p. 21