Relations de Kramers-Kronig

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En mathématiques et physique, les relations de Kramers-Kronig, nommées en l'honneur de Hendrik Anthony Kramers[1] et Ralph Kronig[2], décrivent la relation qui existe entre la partie réelle et la partie imaginaire de certaines fonctions complexes. Plus spécifiquement, elles s'appliquent aux fonctions qui sont analytiques sur le demi-plan supérieur de la variable complexe. On peut en effet montrer qu'une telle fonction f(\omega) représente la transformée de Fourier d'un processus physique linéaire et causal. Si on écrit

f(\omega) = f_1(\omega) + i f_2(\omega),

avec f_1 et f_2 des fonctions réelles "sympathiques", alors les relations de Kramers-Kronig sont


f_1(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} 
\frac{\Omega f_2(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega
f_2(\omega) = -\frac{2 \omega}{\pi} \int_0^{\infty} 
\frac{f_1(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega
.

Les relations de Kramers-Kronig sont liées à la transformée de Hilbert, et sont le plus souvent appliquées à la permittivité \epsilon(\omega) des matériaux. Cependant, dans ce cas,

 f(\omega) = \chi(\omega) = \epsilon(\omega)/\epsilon_0 - 1,

avec \chi(\omega) la susceptibilité électrique du matériau, la susceptibilité peut être interprétée comme la transformée de Fourier de la réponse temporelle du matériau à une excitation infiniment brève, c'est-à-dire sa réponse impulsionnelle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545-557 (1927) .
  2. R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, p. 547-557 (1926).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]