Relation de conjugaison

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En optique, une relation de conjugaison est une formule mathématique reliant la position d'un objet à celle de son image par un système optique. Elle tire son nom du fait qu'en optique géométrique, dans les conditions de stigmatisme, lorsque tous les rayons issus d'un point objet émergent en sortie du système en un point unique, ce point est appelé image conjuguée du point objet. On dit aussi alors que les deux points sont conjugués.

Dioptre sphérique[modifier | modifier le code]

Dans l'approximation des petits angles, on obtient la relation de conjugaison suivante pour les dioptres sphériques qu'ils soient concaves ou convexes : \frac{n_2}{\overline{SA'}}- \frac{n_1}{\overline{SA}}=\frac{n_2-n_1}{\overline{SC}}

avec:

n1 l'indice de réfraction du milieu ambiant.

n2 l'indice de réfraction du dioptre.

Lentilles sphériques minces[modifier | modifier le code]

L'approximation de Gauss appliquée aux lentilles minces sphériques permet l'obtention de deux relations de conjugaison.

Relation de Descartes (lentilles minces dans l'air)[modifier | modifier le code]

Exemple de positions d'objet et d'image pour une lentille mince convergente dans les conditions de Gauss.

La formule de conjugaison de Descartes une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}=\frac{1}{f'} .

Dans le cas d'une lentille convergente, on a \scriptstyle f'>0 et dans le cas d'une lentille divergente, \scriptstyle f'<0.

C'est un cas particulier de la relation de conjugaison avec origine aux points principaux dans le cas d'un système centré. Pour les lentilles minces, dont les points principaux sont confondus avec le centre optique, on parle de formule avec origine au centre.

Relation de Newton[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'une relation de conjugaison avec origine aux foyers du système.

La formule de conjugaison de Newton (ou formule de conjugaison avec origine aux foyers du système) donne une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport aux foyers F et F'. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par le système de foyers objet F et image F':

\overline{F'A'} \cdot \overline{FA} = f \cdot f' = -f'^2 .

Miroirs sphériques[modifier | modifier le code]

Lois de Descartes[modifier | modifier le code]

Relations de conjugaison[modifier | modifier le code]

Avec origine au sommet S du miroir :

Pour tout point A sur l'axe du miroir dont l'image est A' (qui est aussi sur l'axe) on peut écrire la relation de conjugaison suivante : \frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}

On rappelle que \overline{SA'} est la mesure algébrique de SA'.

Avec origine au centre C de la sphère :

Pour tout point A sur l'axe du miroir dont l'image est A' (qui est aussi sur l'axe) on peut écrire la relation de conjugaison suivante : \frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}}

Grandissement[modifier | modifier le code]

Dans le cas du miroir sphérique on obtient : γ = \frac{ \overline{A'B'}}{\overline{AB}} =  -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} =  \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}}

où S est le sommet du miroir (ie son intersection avec l'axe)

Formules de Newton[modifier | modifier le code]

On considère un point A sur l'axe du miroir et son image A'. Alors \overline{FA} x \overline{F'A'} = f.f'F \equiv F' est le foyer du miroir, au milieu du segment SC.

D'où : γ  = -\,\frac{\overline{F'A'}}{f} = -\,\frac{f'}{\overline{FA}}

Notes et références[modifier | modifier le code]


Voir aussi[modifier | modifier le code]

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