Régression linéaire

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En statistiques et en économétrie, un modèle de régression linéaire est un modèle de régression d'une variable expliquée sur une ou plusieurs variables explicatives dans lequel on fait l'hypothèse que la fonction qui relie les variables explicatives à la variable expliquée est linéaire dans ses paramètres.

Formellement, on modèlise la relation entre une variable aléatoire y et un vecteur de variables aléatoires x. De manière générale, le modèle linéaire peut s'écrire de la manière suivante :

$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \ldots + \beta_K x_K + u$

y désigne la variable expliquée. Le vecteur x désigne l'ensemble des variables explicatives : $(x_1,x_2,\ldots,x_K)$. u désigne le terme d'erreur. Il est parfois appelé perturbation.

On suppose qu'on dispose de données sur les variables $y, x_1, x_2, \ldots, x_K$. On cherche à estimer le vecteur β des paramètres : $(\beta_0,\beta_1, \ldots , \beta_K)$. La régression est dite linéaire parce qu'elle impose une forme fonctionnelle linéaire dans les paramètres du modèle.

On parle aussi de modèle linéaire ou de modèle de régression linéaire.

En général, le modèle de régression linéaire désigne un modèle dans lequel l'espérance conditionnelle de y sachant x est une transformation affine de x. Cependant, on peut aussi considérer des modèles dans lesquels c'est la médiane conditionnelle de y sachant x ou n'importe quel quantile de la distribution de y sachant x qui est une transformation affine de x.

Le modèle de régression linéaire est souvent estimé par la méthode des moindres carrés mais il existe aussi de nombreuses autres méthodes pour estimer ce modèle. On peut par exemple estimer le modèle par maximum de vraisemblance ou encore par inférence bayésienne.

Bien qu'ils soient souvent présentés ensemble le modèle linéaire et la méthode des moindres carrés ne désignent pas la même chose. Le modèle linéaire désigne une classe de modèles qui peuvent être estimés par un grand nombre de méthodes et la méthode des moindres carrés désigne une méthode d'estimation. Elle peut être utilisée pour estimer différents types de modèles.

Histoire

La première régression linéaire est attribuée à Francis Galton en 1886. Dans son article, Galton régresse la taille des fils en fonction de la taille des pères. Il constate un phénomène de régression vers la moyenne.

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Applications

Le modèle de régression linéaire a de nombreuses applications pratiques. Il permet notamment de faire des analyses de prédiction. Après avoir estimé un modèle de régression linéaire, on peut prédire quel serait le niveau de y pour des valeurs particulières de x.

Il permet également d'estimer l'effet d'une variable sur une autre en contrôlant par d'autres facteurs. Par exemple, dans le domaine des sciences de l'éducation, on peut évaluer l'effet de la taille des classes sur les performances scolaires des enfants en contrôlant par la catégorie socio-professionnelle des parents ou par l'emplacement géographique de l'établissement.

En économétrie

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Le modèle linéaire est très utilisé en économétrie. Il est présenté dans de très nombreux manuels d'économie. Il existe de nombreux exemples dans la littérature :

• Gregory Mankiw, David Romer et David Weil utilisent un modèle linéaire pour tester empiriquement la pertinence du modèle de Solow.
• Steven Levitt utilise un modèle linéaire pour estimer l'effet du nombre de policiers sur la criminalité.
• Daron Acemoglu, Simon Johnson et James Robinson utilisent une régression linéaire pour estimer l'effet des institutions sur le développement actuel des pays.
• Jonathan Gruber et Daniel Hungerman utilisent un modèle linéaire pour analyser sur données américaines l'effet des lois autorisant le travail le dimanche sur la participation religieuse.

En sciences politiques

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• Andrew Gelman et Gary King utilisent un modèle linéaire pour estimer l'avantage des candidats sortants lors des élections à la chambre des représentants des États-Unis.

En sociologie

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Le modèle

Notations

On rencontre principalement trois types de notations.

La notation simple

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1,i} + \ldots + \beta_K x_{K,i} + u_{i}$

La notation vectorielle

Si on appelle β le vecteur $(\beta_0,\ldots,\beta_K)$ et x_i le vecteur $(1,x_{1,i},\ldots,x_{K,i})$, on peut réécrire le modèle de la manière suivante :

y_i = x_i'β + u_i

La notation matricielle

Enfin, on rencontre aussi souvent une notation matricielle :

y = Xβ + u avec $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1K} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2K} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{nK} \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_K \end{pmatrix}, \quad u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}.$

Terminologie

Le modèle linéaire est utilisé dans un grand nombre de champs disciplinaires. Il en résulte une grande variété dans la terminologie. Soit le modèle suivant :

$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \ldots + \beta_K x_K + u$

La variable y est appelée variable expliquée ou variable endogène. Les variables $(x_1,x_2,\ldots,x_K)$ sont appelées variables explicatives, variables exogènes ou encore prédicteurs. u est appelé terme d'erreur ou perturbation.

On note généralement $\hat \beta$ le vecteur des paramètres estimés. On définit la valeur prédite $\hat y_i = x_i \hat \beta$ et le résidu $\hat u_i = y_i - \hat y_i$.

Les principales hypothèses

H1 L'hypothèse d'exogénéité

En notation vectorielle :

$\mathbb E (u_i|x_i) = 0$

En notation matricielle :

$\mathbb E (u | X) = 0$

C'est une hypothèse d'indépendance entre le terme d'erreur et les variables explicatives.

H2 L'hypothèse de non colinéarité des variables explicatives

En notation vectorielle :

$\mathbb E (x_ix_i')$ inversible avec x_i' la transposée du vecteur x_i

En notation matricielle :

$\mathbb E (X'X)$ inversible avec X' la transposée de la matrice X.

H3 L'hypothèse de non corrélation des termes d'erreur

$\forall i \neq j \quad \mathbb E(u_i u_j|x_i) = 0$

Cette hypothèse est souvent violée lorsqu'il s'agit de séries temporelles où les erreurs sont souvent dites autocorrélées.

H4 L'hypothèse d'homoscédasticité

$\forall i \quad \mathbb E(u_i^2|x_i) = \sigma^2$

Si les deux précédentes hypothèses sont vérifiées, on peut écrire sous forme matricielle : $\mathbb V(u|X) = \sigma^2 I_n$ avec I_n la matrice identité de taille n.

H5 L'hypothèse de normalité des termes d'erreur

$u_i | x_i \sim \mathcal N (0, \sigma^2)$

Sous forme matricielle :

$u | X \sim \mathcal N (0, \sigma^2 I_n)$

Hiérarchie des hypothèses

A noter que si l'hypothèse 2 n'est pas vérifiée, l'estimation du modèle est impossible (elle nécessiterait d'inverser une matrice singulière) alors que pour toutes les autres hypothèses l'estimation est possible mais donne un estimateur biaisé et/ou non efficace (à variance non minimale).

Le modèle linéaire simple

Modèle de régression linéaire simple

On appelle généralement modèle linéaire simple un modèle de régression linéaire avec une seule variable explicative. Ce modèle est souvent présenté dans les manuels de statistiques à des fins pédagogiques.

y_i = β₀ + β₁x_i + u_i

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Estimateur des moindres carrés ordinaires

L'estimateur des moindres carrés ordinaires est la solution du programme de minimisation de la somme des carrés des écarts entre les valeurs prédites et les valeurs observées par rapport aux deux paramètres b₀ et b₁ :

$\text{Argmin}_{b_0,b_1} \sum_{i = 1}^n (y_i - b_1 x_i - b_0)^2$

En dérivant par rapport aux deux arguments, on obtient : $\hat{\beta_1} = \frac { \sum x_i \sum y_i - n \sum x_i y_i } { \left ( \sum x_i \right ) ^ 2 - n \sum x_i^2 } = \frac{ \sum (x_i -\bar{x})(y_i-\bar{y} ) }{\sum ( x_i - \bar{x})^2 }$ et $\hat{\beta_0} = \frac { \sum y_i - \hat{\beta}_1 \sum x_i } { n } = \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x}$ avec $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ la moyenne empirique des x_i et $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i$ la moyenne empirique des y_i.

Le modèle standard

On appelle modèle standard un modèle dans lequel les hypothèses d'exogénéité (H1), de non colinéarité (H2), de non corrélation des termes d'erreur (H3) et d'homoscédasticité sont respectées (H4).

Estimation du modèle

Ce modèle peut être estimé par la méthode des moindres carrés ordinaires.

L'estimateur des moindres carrés ordinaires peut s'écrire $\hat\beta = \big(\, \tfrac{1}{n}{\textstyle\sum} x_i x'_i \,\big)^{-1} \big(\, \tfrac{1}{n}{\textstyle\sum} x_i y_i \,\big)$ sous forme vectorielle ou $\hat \beta = (X'X)^{-1} X'y$ sous forme matricielle.

D'après le Théorème de Gauss-Markov, l'estimateur des moindres carrés ordinaires est le meilleur estimateur linéaire sans biais.

Sous l'hypothèse de normalité des termes d'erreur (H5), l'estimateur des moindres carrés est aussi l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Le modèle avec corrélations des termes d'erreur ou hétéroscédasticité

Il arrive souvent que les hypothèses H3 et H4 ne soient pas vérifiées. On distingue alors deux cas : le cas où l'on peut faire des hypothèses raisonnables sur la matrice de variance-covariance du vecteur des perturbations et le cas où on ne fait aucune hypothèse sur cette matrice.

Estimation du modèle par les moindres carrés généralisés

Si on note Ω la matrice de variance-covariance du vecteur des perturbations u, on peut définir l'estimateur des moindres carrés généralisés : $\hat\beta = (X'\Omega^{-1}X)^{-1}X'\Omega^{-1}y,$

Estimation du modèle par les moindres carrés quasi-généralisés

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Le modèle à variables instrumentales

Lorsque l'une des variables explicatives est corrélée au terme d'erreur (H1 violée), alors on peut avoir recours aux variables instrumentales. On appelle variable instrumentale une variable z qui a un effet sur les variables explicatives suspectées d'endogénéité mais n'est pas corrélée avec le terme d'erreur.

Lorsque l'hypothèse H1 d'exogénéité n'est pas crédible, on peut utiliser la méthode des variables instrumentales. Dans ce cas, il faut trouver un ensemble de variables dites instrumentales qui doivent être à la fois exogènes et corrélées aux variables explicatives du modèle. On note souvent le vecteur des variables instrumentales z_i et la matrice des variables instrumentales Z.

Formellement, on introduit donc deux nouvelles hypothèses :

• L'hypothèse d'exogénéité des instruments : $\mathbb E (u_i|z_i) = 0$ sous forme vectorielle ou $\mathbb E (u | Z) = 0$ sous forme matricielle.
• Condition de rang : Z doit être corrélé à X.

Application

Très souvent utilisé en économétrie, le modèle à variables instrumentales est aussi utilisé en sciences politiques.

Estimation du modèle par la méthode des doubles moindres carrés

Ce modèle peut être estimé par la méthode des doubles moindres carrés et dans ce cas, on obtient : $\hat\beta = [X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X]^{-1}[X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y]$.

Extensions

• Le modèle linéaire généralisé est une extension du modèle linéaire dans laquelle on pose $y_i = g^{-1} (\beta_0 + \beta_1 x_x + \ldots + x_K) + u_i$. Cette classe de modèles comprend le modèle linéaire, le modèle de régression logistique, le modèle probit, le modèle de Poisson, etc. Elle a été développée par Nelder et Wedderburn 1972 et popularisé par le livre de McCullagh et Nelder 1989.
• Le modèle linéaire hiérarchique ou modèle linéaire multiniveau est un modèle dans lequel il y a au moins deux niveaux d'observations, par exemple la région et les individus et dans lequel on va permettre aux coefficients de varier. Par exemple, le modèle suivant est un modèle linéaire hiérarchique : $y_{j,i} = \beta_{0,j} + \beta_{1,j} x_{1,j,i} + \ldots + \beta_{K,j} x_{K,j,i} + u_{j,i}$.

• Le modèle de régression quantile linéaire.

• Le modèle additif généralisé

• Le modèle Tobit pour traiter les variables censurées.

• Le modèle de sélection ou modèle Heckit

• Les modèles à équations simultanées

Bibliographie

Textes historiques

• (en) Francis Galton, « Regression Towards Mediocrity in Hereditary Stature », dans Journal of the Anthropological Institute, vol. 15, 1886, p. 246-263 [texte intégral (page consultée le 27 février 2012)] 

Sources

• Michel Armatte, Histoire du modèle linéaire. Formes et usages en statistique et en économétrie jusqu’en 1945, 1995, thèse EHESS sous la direction de Jacques Mairesse.
• (en) E.H. Lehmann, « On the history and use of some standard statistical models », dans Deborah Nolan et Terry Speed, Probability and Statistics: Essays in Honor of David A. Freedman, Beachwood, Ohio, USA, Institute of Mathematical Statistics, 2008 [lire en ligne (page consultée le 28 décembre 2011)] 

Manuels

• Pierre-André Cornillon et Eric Matzner-Løber, Régression : Théorie et applications, Springer, 2007, 1^re éd., 302 p. (ISBN 978-2287396922) 
• (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, 15 septembre 2004, 461 p. (ISBN 978-0387402727), p. chapitre 13 
• (en) Joshua Angrist et Jörn-Steffen Pischke, Mostly Harmless Econometrics : An Empiricist's Companion, Princeton University Press, 2008, 392 p. (ISBN 978-0691120355) 
• (en) Colin Cameron et Pravin Trivedi, Microeconometrics: Methods And Applications, Cambridge University Press, 2005, 1056 p. (ISBN 978-0521848053) 
• (en) Andrew Gelman et Jennifer Hill, Data Analysis Using Regression And Multilevel/Hierarchical Models, Cambridge University Press, coll. « Analytical Methods for Social Research », 18 décembre 2006, 1^re éd., 648 p. (ISBN 978-0521686891) 

Voir aussi

Articles connexes

• Statistiques
• Régression (statistiques)
• Corrélation (mathématiques)

Liens externes

• (fr) Philippe Besse, Pratique de la régression linéaire, janvier 2003