Rationnel de Gauss

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un rationnel de Gauss est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des nombres rationnels. L'ensemble des rationnels de Gauss, muni de l'addition et de la multiplication usuelles des nombres complexes, est un corps commutatif, généralement noté ℚ(i) ou ℚ[i].

L'ensemble des rationnels de Gauss est donc

\{p+q\mathrm i\mid(p,q)\in\Q^2\}.

Ces nombres tirent leur nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Propriétés[modifier | modifier le code]

ℚ(i) est un corps quadratique imaginaire de discriminant –4.

En effet, l'ensemble des rationnels de Gauss est « le » corps de rupture du polynôme X2 + 1. Comme ce polynôme est irréductible sur le corps des rationnels, le quotient de l'anneau des polynômes à coefficients rationnels par l'idéal engendré par le polynôme est naturellement muni d'une structure de corps commutatif.

Dans le cas d'une extension par un entier algébrique, c’est-à-dire si le polynôme minimal d'un nombre algébrique est à coefficients entiers, alors le discriminant de l'extension est égal à celui du polynôme minimal. La formule classique du discriminant pour les polynômes de degré 2 donne b2 – 4c si le polynôme est égal à X2 + bX + c.

ℚ(i) n'est ni ordonné, ni complet.

L'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss forme l'anneau des entiers de ℚ(i).

Voir aussi[modifier | modifier le code]