Rampe (fonction)

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La fonction rampe (ou rampe) est une fonction réelle élémentaire à un argument que l'on peut facilement calculer en calculant la moyenne arithmétique de sa variable et de la valeur absolue de celle-ci.

Cette fonction trouve son application en ingénierie, par exemple dans la théorie du traitement du signal.

Définitions[modifier | modifier le code]

Graphe de la fonction rampe

La fonction rampe ( R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) peut être définie de différentes façons :

R(x) := \begin{cases} x, & x \ge 0; \\ 0, & x<0 \end{cases}
  • La moyenne d'une droite de pente unité et de sa valeur absolue :
R(x) := \frac{x+|x|}{2}

Ceci peut dériver de la définition de la fonction  \max(a,b) = \frac{a+b+|a-b|}{2} , avec a = x et b = 0

R\left( x \right) := xH\left( x \right)
  • La convolution de la fonction de Heaviside avec elle-même :
R\left( x \right) := (H * H)\left( x \right)
R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi

Propriétés analytiques[modifier | modifier le code]

Non-négativité

La fonction rampe est positive sur la droite réelle, et en particulier nulle pour tout réel négatif.

Dérivée

Sa dérivée est la fonction de Heaviside :

R'(x) = H(x)\ \mathrm{si}\ x \ne 0
Transformée de Fourier

Sa transformée de Fourier vaut

\mathcal{F} \{R\} (f ) = \int_0^{+\infty} R(x)e^{-2 i\pi f x} = \frac{i \delta'(f)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^2 f^2},

où δ' désigne la dérivée de la fonction de Dirac.

Transformée de Laplace

Sa transformée de Laplace vaut

\mathcal{L} \{R\} (s) = \int_0^{+\infty} R(x)e^{-sx} = \frac{1}{s^2}.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]