Radical d'un idéal

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Radical.

En algèbre commutative, le radical d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I.

Définition[modifier | modifier le code]

\sqrt I=\{a\in A~|~\exists n\in\N^*,a^n\in I\}~.

Exemple[modifier | modifier le code]

Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible - à produit près par un inversible - n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans \Z, le radical d'un idéal n\Z est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • C'est un idéal de A contenant I.
  • Le radical du radical de I est le radical de I.
  • Si I est propre alors son radical est propre, et c'est l'intersection des idéaux premiers de A qui contiennent I (voir théorème de Krull).
  • Le nilradical de l'anneau A est par définition le radical de l'idéal nul.
  • Si I et J sont deux idéaux de A alors :
    • le radical de IJ est égal à l'intersection des radicaux de I et J et est aussi égal au radical de l'idéal produit IJ ;
    • le radical de l'idéal I+J contient la somme des radicaux de I et J. L'égalité n'est pas toujours vraie comme montre l'exemple A=k[X, Y], I=XA et J=(X+Y^2)A.
  • Si le radical de I est un idéal de type fini (c'est-à-dire de type fini comme sous-A-module de A), par exemple si A est noethérien, alors il existe un entier naturel n tel que xn appartienne à I pour tout x appartenant au radical de I.

Idéal radiciel[modifier | modifier le code]

Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit radiciel lorsqu'il est égal à son radical. En d'autres termes, I est radiciel si et seulement si l'anneau quotient A / I est réduit. Tout idéal premier est donc radiciel.